Distribución de probabilidad para el resto de un entero fijo

Question

En la sección "Notas" de Moderno sistema de Álgebra por Joachim Von Zur Gathen, hay una rápida desechable comentario que dice:

Dirichlet también demuestra el hecho, sorprendente a primera vista, que fija $a$ en una división el resto $r = a \operatorname{rem} b$,$0 \leq r < b$, es más probable que sea menor que $b/2$ de mayor: Si $p_a$ denota la probabilidad de que la antigua, donde $1 \leq b \leq a$ es elegido uniformemente al azar, a continuación, $p_a$ es asintóticamente $2 - \ln{4} \approx 61.37\%$.

La nota termina allí, y no se dice nada nuevo. Este hecho no me sorprende, y he intentado buscar, pero todas mis búsquedas de "Dirichlet" y la "probabilidad" juntos terminan siendo dominados por las conversaciones de Dirichlet procesos estocásticos (que, supongo, está relacionada).

¿Alguien tiene alguna referencia o la prueba de este resultado?

Answer 1

No es difícil de probar. Vamos $$f(x) = \begin{cases} 0 & x \geq 0 \\ 1 & x < 0 \end{cases}.$$ Entonces $$f \left( 1 - \frac{k}{n} \left[ \frac{n}{k} \right] - \frac{k}{2n} \right) = 1$$ si y sólo si $n \ \mathrm{mod} \ k$ es menor que $k/2$, por lo que tenemos $$p_n = \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} f \left( 1 - \frac{k}{n} \left[ \frac{n}{k} \right] - \frac{k}{2n} \right).$$ Ahora tome $n \to \infty$. Entonces esto se convierte en $$\lim_{n\to\infty} p_n = \int_{0}^{1} f\left( 1 - \left( \left[ \frac{1}{x} \right] + \frac{1}{2} \right) x\right) \, dx.$$ Para evaluar esta integral, se divide el dominio de integración de acuerdo con el valor de $[1/x]$. Entonces $$ \int_{0}^{1} f\left( 1 - \left( \left[ \frac{1}{x} \right] + \frac{1}{2} \right) x\right) \, dx = \sum_{n=1}^{\infty} \int_{1/(n+1)}^{1/n} f\left( 1 - \left( n + \frac{1}{2} \right) x\right) \, dx, $$ y desde $1 - (n+(1/2))x < 0$$2/(2n+1) < x < 1/n$, es igual a la $$\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{2}{2n+1} \right) = 2 - \log 4. $$

Answer 2

sos440 la respuesta es correcta, pero creo que hace que el cálculo de la mirada innecesariamente complicado. Los límites donde el resto se alterna entre ser mayor o menor que $b/2$$a/b=n/2$$b=2a/n$$n>2$. Si elegimos $b$ como un verdadero número distribuidos de manera uniforme sobre $[0,a]$, se puede calcular la probabilidad de $a \;\text{mod}\; b$ (definido como el número único entre el $0$ $a$ que difiere de $a$ por un múltiplo entero de $b$) de menos de $b/2$ de la suma de las longitudes de los intervalos correspondientes,

$$ \begin{eqnarray} &&\left(\left(\frac{2a}{2}-\frac{2a}{3}\right)+\left(\frac{2a}{4}-\frac{2a}{5}\right)+\left(\frac{2a}{6}-\frac{2a}{7}\right)+\ldots\right)\\ &=&2a\left(1-(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\ldots)\right)\\ &=&2a(1-\ln2)\;, \end{eqnarray} $$

cual es la integral de la $0$ $a$de la función característica $\chi_S$ $S=\{b\mid a\;\mathrm{mod}\;b < b/2\}$ y los rendimientos de la probabilidad de $p_a=2a(1-\ln2)/a=2(1-\ln2)$. Mediante la escala de$[0,a]$$[0,1]$, podemos interpretar la probabilidad de un entero $b$ como una aproximación a esta integral usando el rectángulo de la regla, que converge a la integral como $a\to\infty$ desde el tamaño de la malla de la aproximación es $1/a\to0$.

Answer 3

Los Números Primos y Su Distribución Por Gérald Tenenbaum, Michel Mendès France

Partes de este libro, incluyendo la discusión de los resultados, están disponibles en Google Libros.