Ray tracing en General de la relatividad

Question

Me gustaría saber lo que uno ve en el radio de Schwarzschild de una masiva no rotación de un agujero negro, si el agujero negro está rodeado por un anillo luminoso.

Por eso, me gustaría lugar al observador a un determinado $r_0,\theta_0,\phi_0=(R_S,\theta,0)$ y se mira en una dirección determinada $\alpha,\beta$ (mirando hacia afuera) y pregunte donde un rayo de luz que termina con estos parámetros se origina (revertir el tiempo). Más específicamente, ¿en qué radio en el ring se origina (si se cruza el anillo).

Este debe ser soluble de alguna manera el uso de la métrica, ya sea analítica o numéricamente, asumiendo el gradiente de potencial es pequeña en algunos pequeños gama de computación y un pequeño paso en el rayo de luz.

Mi pregunta es: ¿Cómo puedo obtener una fórmula para el rayo de luz con $(r,\theta,\phi)$ como una función del tiempo, que llega a $(r_0,\theta_0,\phi_0)$ desde el ángulo de $\alpha,\beta$ tiempo $t=0$?

He encontrado este GR de conferencias http://eagle.phys.utk.edu/guidry/astro421/lectures/lecture490_ch9.pdf pero no le da un poquito de rayos camino. También he encontrado la gyoto de software, pero sólo se puede calcular la radiación para un observador lejos del agujero negro.

Actualización

Así que siguió a la derivación en https://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_geodesics y entender cómo derivar la ecuación

$$ \left( \frac{du}{d\varphi} \right)^{2} = \frac{1}{b^{2}} - \left( 1 - u r_{s} \right) \left( \frac{1}{a^{2}} + u^{2} \right) $$

El lado derecho de que puede ser escrito como un polinomio de 3er orden, cuyas raíces se puedo determinar.

Un número de cosas parece que todavía no está claro para mí:

• ¿Cómo de repente saltar a la "senos amplitudinus función" como una solución a $u(\varphi)$ de la fundamental orbital de la ecuación?
• Si $u_1$, $u_2$ son el conjugado de las raíces (números complejos), y $u_3$ es la verdadera raíz, entonces la ecuación $$ u = u_{1} + \left( u_{2} - u_{1} \right) \, \mathrm{sn}^{2}\left( \frac{1}{2} \varphi \sqrt{r_{s} \left( u_{3} - u_{1} \right)} + \delta \right) $$ will have a complex argument $u_3-u_1$, lo cual es incompatible con el sn de la función?
• ¿Cómo puedo ir de $u(\varphi)$ $u(\tau)$o $u(t)$? Creo que debe haber múltiples soluciones para un solo phi, por ejemplo, en el procesamiento de las órbitas.
• ¿Cómo elijo $a$$b$? Creo $a$ es como un momento angular, y en relación con la partida potencial. $b$ está relacionado con el radio más cercano?

Answer 1

El rayo de luz en la relatividad general viaja a lo largo de la geodésica nula, la cual es determinada por la ecuación simple

$$ g_{\mu \nu} (x) \frac{dx^{\mu}}{d\tau} \frac{dx^{\nu}}{d\tau} = 0, $$

donde$g_{\mu \nu}$, en tu caso es la métrica de Schwarzschild. A partir de esta ecuación y la condición inicial (ángulo de $\alpha$) debe ser capaz de trazar su rayo de luz hacia atrás en el tiempo y restaurar la posición inicial en cualquier $t$.

Hay una pequeña sutileza: la evolución del parámetro ($\tau$) es arbitraria, lo que significa que la ecuación anterior tiene múltiples soluciones. Esto es debido a la reparametrization invariancia, que es la medida de la simetría de la relativista de la partícula. Con el fin de recibir respuestas definitivas, puede utilizar el $\tau = t = x^0$ indicador (por decir simplemente que su $\tau$ es la física en el tiempo de un observador en el infinito).

Actualización:

OK, voy a responder a sus preguntas.

1. El $sn$ función es la solución de la ecuación diferencial anterior

2. Por qué? $sn$ está definido en el plano complejo, por lo que yo sé.

3. No. Esta ecuación indica cómo $u=1/r$ depende de $\phi$.

4. $a$ $b$ son los parámetros que debe corregir con sus condiciones iniciales.

Pero no veo por qué usted necesita esas ecuaciones. La forma de la órbita de un planeta? Yo pensaba que usted necesita para trazar el rayo de luz hacia atrás en el tiempo? ¿Por qué no hiciste lo que te sugerí en esta respuesta?