Prueba de linealidad de diferentiability

Question

No sé cómo demostrar si $f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$ es diferentiable y $f(x/2) = f(x)/2$ % todo $x \in \mathbb{R}^n$$f$es lineal. ¿Alguien me podría dar una pista?

Answer 1

Es fácil ver que $f(0)=0$. Poner $\nabla f(0)=:a$. Entonces la función $g(x):=f(x)-a\cdot x$ satisface a %#% $#% además$$\lim_{x\to0}{g(x)\over|x|}=\lim_{x\to0}{f(x)-a\cdot x\over|x|}=0\ ,$ hereda la propiedad $g$. Ahora fijar un $g(x)=2 g(x/2)$. Utilizando inducción uno demuestra que todos $x\in{\mathbb R}^m$ uno tiene $n\geq0$ $ya que aquí el lado derecho converge a$$g(x)=2^n g\bigl(2^{-n}x\bigr)=|x|\>{g\bigl(2^{-n}x\bigr)\over\bigl|2^{-n}x\bigr|}\ .$ cuando $0$, se deduce que de hecho $n\to\infty$.

Answer 2

Dado el hecho de que "el f es diferenciable" es lo suficientemente importante para el estado, mi primer pensamiento sería para diferenciar! $\frac{1}{2}f'(x/2)= f'(x)/2$ , de modo que $f'(x/2)= f'(x)$. .A partir de esto, podemos argumentar que si $f'(x_1)$ $f'(x_2)$ son diferentes, existen dos secuencias diferentes, $x_1, x_1/2, x_1/4, ...$, todos con el mismo vaue, y $x_2, x_2/2, x_2/4, ...$, todos con el mismo valor de f, que converge a 0. Ahora, si un derivado existe, no tiene que ser continuo, pero no satisfacen el requisito de "intermedio valor de la propiedad" de manera que los dos de la secuencia, que converge a 0, daría a diferentes valores de [b]a[/b] 0. Por lo tanto la derivada debe ser constante.

Answer 3

Tienes $f(0/2)=f(0)=f(0)/2$ implica que el $f(0)=0$,

$f(x)=Df_0(x)+O(x)$ donde $lim_{\|x\|\rightarrow 0}{{O(h)}\over \|h\|}=0$.

$f(x/2^n)=Df_0(x/2^n)+O(x/2^n)=f(x)/2^n$. Esto implica que el ${{O(x)}\over {2^n}}=O(x/2^n)$. Deducen $O(x)=2^nO(x/2^n)$.

$2^nO(x/2^n)= \|x\|{{O(x/2^n)}\over {\|x\|/2^n}}$. $lim_{n\rightarrow +\infty}2^nO(x/2^n)= \|x\|{{O(x/2^n)}\over {\|x\|/2^n}}$ .

$lim_{n\rightarrow+\infty}{{O(x/2^n)}\over{\|x\|/2^n}}=lim_{h\rightarrow 0}O(h)/\|h\|=0$. Esto implica que el $lim_{n\rightarrow +\infty}2^nO(x/2^n)=0$ y aquí en adelante $O(x)=0$. Deducimos que $f(x)=Df_0(x)$.

Answer 4

Una función es lineal si para todos los $a,b: f(\mathbf a+\mathbf b) = f(\mathbf a) + f(\mathbf b).$

Sabías que: $f(x/2) = f(x)/2$ y $(x/2 + x/2) = f(x)/2 + f(x)/2 = f(x)$

Lo que usted tendrá que mostrar: $f(0) = 0$

Supongamos que $f(\mathbf x) = c.$ mostrar que, $f(a\mathbf x) = ac$

Puede que necesite mostrar esta primera para inegers, luego para el racionales, entonces para los escalares.

Entonces usted necesitará demostrar que aplica para todas las $\mathbf a, \mathbf b$