Homeomorfismos entre espacios de Banach de dimensión infinita y sus esferas

Question

Según sé, Cz. Bessaga ha demostrado que un espacio de Banach de dimensión infinita es homeomorfo a su esfera unitaria. Desgraciadamente no tengo su libro pero quiero saber si este teorema es cierto sin depender de que el espacio sea separable o no, y sea real o complejo.

Es decir, ¿es cierto que:

1. un espacio de Banach real separable de dimensión infinita es homeomorfo a su esfera;

2. un espacio de Banach complejo separable de dimensión infinita es homeomorfo a su esfera;

3. un espacio de Banach real no separable de dimensión infinita es homeomorfo a su esfera;

4. un espacio de Banach complejo no separable de dimensión infinita es homeomorfo a su esfera?

Answer 1

Bessaga mostró algo más fuerte, pero sólo para los espacios de Hilbert. La generalización a ciertos espacios de Banach (es decir, aquellos que son linealmente inyectables en algún $c_0(\Gamma)$ ) fue dada por Dobrowolski. El siguiente párrafo es de Difeomorfismos entre esferas e hiperplanos en espacios de Banach de dimensión infinita por D. Azagra, Studia Math. 125 (1997), nº 2, 179-186.

En 1966 C. Bessaga [1] demostró que todo espacio de Hilbert de dimensión infinita $H$ es $C^\infty$ difeomorfo a su esfera unitaria. La clave para demostrar este asombroso resultado fue la construcción de un difeomorfismo entre $H$ y $H \smallsetminus \{0\}$ siendo la identidad fuera de una bola, y esta construcción fue posible gracias a la existencia de un $C^\infty$ norma no completa en $H$ . En 1979 T. Dobrowolski [2] desarrolló la técnica de normas no completas de Bessaga y demostró que todo espacio de espacio de Banach $X$ que es linealmente inyectable en algún $c_0(\Gamma)$ es $C^\infty$ difeomorfo a $X \smallsetminus \{0\}$ .

[1] Bessaga, C. Todo espacio de Hilbert de dimensión infinita es difeomorfo con su esfera unitaria. Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys. 14 (1966), 27-31.

[2] Dobrowolski, T., Despreciabilidad suave y R-analítica de subconjuntos y extensión de homeomorfismo en espacios de Banach , Studia Math. 65 (1979), 115-139.