Resolver la ecuación binomial

Question

Resolver la ecuación binomial $$z^4 = -8

Abajo está lo que he hecho

1: he tomado | -8 | es 8 y luego hacer 8^(1/4) que es 2^(1/4).

2: desde $z=r(cos\alpha+isin\alpha)$ me lleva a

$r^4(cos4\alpha+isin4\alpha)=-8(cos\pi/2+isin\pi/2)$

Dividir por 4, puesto que el término z se levantó por cuatro da $2^{1/4}(cos\pi/8 + k * \pi/2 +sin\pi/8 + k * \pi/2)$

¿Esta es la forma correcta para resolver este problema? Estoy pidiendo ya que acaba de comenzar con las ecuaciones binomic y estancado por algunas horas con la pregunta.

Answer 1

Otro enfoque que es una eficiente forma de avanzar es explotar la identidad de Euler y escribir

$$z^4=r^4e^{i4\theta}=-8=8e^{i(2n+1)\pi}$$

para todo número entero $n$. Así, al invertir tenemos $z$

$$z=re^{i\theta}=2^{3/4}e^{i(2n+1)\pi/4}$$

$n=\pm 1, \pm 3$. Por lo tanto, son las raíces de $4$ $z$

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{z=2^{3/4}e^{\pm i\pi/4}\,\,\text{and}\,\,2^{3/4}e^{\pm i3\pi/4}}$$

o en forma rectangular

$$\bbox[5px,border:2px solid #C0A000]{z=2^{1/4}(1\pm i)\,\,\text{and}\,\,2^{1/4}(-1\pm i)}$$

Answer 2

$$z^4 = -8 \Longleftrightarrow$$ $$z^4 = |-8|e^{\arg(-8)i} \Longleftrightarrow$$ $$z^4 = 8e^{\pi i} \Longleftrightarrow$$ $$z^4 = 8e^{\left( \pi + 2 \pi k \right) i} \Longleftrightarrow$$ $$z = \left( 8e^{\left( \pi + 2 \pi k \right) i} \right)^{\frac{1}{4}} \Longleftrightarrow$$ $$z = \sqrt[4]{8}e^{\frac{1}{4}\left( \pi + 2 \pi k \right) i} \Longleftrightarrow$$ $$z = \sqrt[4]{8}e^{\left( \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2} \right) i} \Longleftrightarrow$$ $$z = \sqrt[4]{8}e^{\frac{\pi(2k+1)}{4} i}$$

$k \in \mathbb{Z}$ Y $k$ va de $0-3$

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Por lo tanto las soluciones son:

$$z_0=\sqrt[4]{8}e^{\frac{\pi(2 \cdot 0+1)}{4} i}=\sqrt[4]{8}e^{\frac{\pi}{4}i}$$ $$z_1=\sqrt[4]{8}e^{\frac{\pi(2 \cdot 1+1)}{4} i}=\sqrt[4]{8}e^{\frac{3\pi}{4}i}$$ $$z_2=\sqrt[4]{8}e^{\frac{\pi(2 \cdot 2+1)}{4} i}=\sqrt[4]{8}e^{-\frac{3\pi}{4}i}$$ $$z_3=\sqrt[4]{8}e^{\frac{\pi(2 \cdot 3+1)}{4} i}=\sqrt[4]{8}e^{-\frac{\pi}{4}i}$$

Answer 3

Notice, $$z^4=-8$$ $$z^4=8i^2$$ $$z=\sqrt[4]{8i^2}$$ $$z=(2)^{3/4}\sqrt{i}$$ $$z=(2)^{3/4}\sqrt{\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}}$$ $$=(2)^{3/4}\left(\cos\frac{\pi}{2}+i\sin\frac{\pi}{2}\right)^{1/2}$$ $$=(2)^{3/4}\left(\cos\left(2k\pi+\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(2k\pi+\frac{\pi}{2}\right)\right)^{1/2}$$ $$=(2)^{3/4}\left(\cos\left(\frac{(4k+1)\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{(4k+1)\pi}{2}\right)\right)^{1/2}$$ $$=(2)^{3/4}\left(\cos\left(\frac{(4k+1)\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{(4k+1)\pi}{4}\right)\right)$$ Setting $k=0$, we get $$z=(2)^{3/4}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right)$$ $$=(2)^{3/4}\left(\frac{1}{\sqrt 2}+i\frac{1}{\sqrt 2}\right)$$ $$z=(2)^{1/4}\left(1+i\right)$$

Ajuste $k=1$, obtenemos $$z=(2)^{3/4}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{5\pi}{4}\right)\right)$ $$$ =(2)^{3/4}\left(\frac{-1}{\sqrt 2}+i\frac{-1}{\sqrt 2}\right) $$z=-(2)^{1/4}\left(1+i\right)

$$\bbox[5px, border:2px solid #C0A000]{\color{red}{z=(2)^{1/4}\left(1+i\right),\ z=-(2)^{1/4}\left(1+i\right)}}$$