X e Y son dos variables aleatorias dependientes. F(Y) y privados marginales f (x) se da, pero no se sabe la FMP conjunta f. ¿Es posible encontrar límite en covarianza cov(X,Y) superior e inferior?
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Joel
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La covarianza entre el $X$ $Y$ se define como $$ \mathrm{Cov}(X,Y)={\rm E}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)], $$ donde$\mu_X={\rm E}[X]$$\mu_Y={\rm E}[Y]$, son los dos medios. Por Cauchy-Schwarz, la' desigualdad tenemos $$ \begin{align} |\mathrm{Cov}(X,Y)|&=|{\rm E}[(X-\mu_X)(Y-\mu_Y)]|\leq {\rm E}\left[(X-\mu_X)^2\right]^{1/2}{\rm E}\left[(Y-\mu_Y)^2\right]^{1/2}\\ &=\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}. \end{align} $$ donde $$ \mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)=\left\{\int (x\mu_X)^2\, f_X(x)\,\mathrm dx\right\}\cdot\left\{\int (y-\mu_Y)^2f_Y(y)\,\mathrm dy\right\}. $$
Cada valor entre el límite inferior y el límite superior puede ser realizado. Para ver esto vamos a $X,X'$ ser yo.yo.d. y $U$ una variable de Bernoulli independientes de $(X,X')$$P(U=1)=p$. Si dejamos $Y=UX+(1-U)X'$, luego $$ \mathrm{Cov}(Y,X)=\mathrm{Cov}(UX,X)+\mathrm{Cov}((1-U)X',X)=\mathrm{Cov}(UX,X). $$ Mediante la expansión de este obtenemos $$ \mathrm{Cov}(Y,X)=E[U]\mathrm{Var}(X)=p\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)} $$ desde $X\sim Y$. Dejando $p$ variar entre $0$ $1$ podemos darnos cuenta de todos los valores entre a $0$ y el límite superior $\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}$.
Por último, vamos a $Y=-(UX+(1-U)X')$, entonces tenemos $X\sim Y$, pero ahora $$ \mathrm{Cov}(X,Y)=-p\sqrt{\mathrm{Var}(X)\mathrm{Var}(Y)}. $$
