Pregunta de Teorema del valor intermedio

Question

La temperatura de $T(x)$ en cada punto de $x$ en la superficie de Marte (una esfera) es una función continua. Demostrar que existe un punto de $x$ en la superficie tal que $T(x)=T(-x)$

(Sugerencia: para Representar la superficie de Marte,$\{x\in{\mathbb{R}^3}:||x||=1\}$.)

Considere la función $f(x)=T(x)-T(-x)$

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Así.....

Considero que una unidad de la esfera es la localización en el origen de una $xyz$-plano.

Como $||x||=1$, puedo decir con $radius = 1 = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$

Encontrar un punto de $T(x)=T(-x)$, utilizamos la fórmula $f(x)=T(x)-T(-x)$ y mostrar de alguna manera $f(x)$ será igual a $0$ ???

Será un punto en el hemisferio superior y otro punto con exactamente el opuesto del vector (si $ijk$ plano) en la parte inferior del hemisferio

Answer 1

Sugerencia: elegir un punto $x$. Si tienes suerte, $f(x) = 0$, pero probablemente esto no se produce. En el otro caso, ¿qué puede decir sobre la relación entre $f(x)$y $f(-x)$? Ahora conecte $x$ y $-x$ con una ruta a lo largo de la esfera...

Answer 2

Si f(x)=T(x)−T(−x) es cero, hemos terminado. Asumir que no existe un x que hacen f (x) cero. Entonces f (x) > 0 o < 0 para todos x. Si decir f (x) > 0 nunca es satisfecho, entonces sustituyendo x por - x obtenemos una contradicción. Del mismo modo si f (x) < 0 nunca tiene. Por lo que deben ser puntos para que f (x) > 0 y puntos para el que f (x) < 0. El teorema del valor intermedio implica entonces debe existir un punto y en el que f (y) = 0 (contradicción).