¿Es la función $f(x,y,z)=\sqrt{x^2 +y^2} +z^2$ lisa?

Question

Definir que $f:\mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}$

$$f(x,y,z)=\sqrt{x^2 +y^2} +z^2 .$$

¿Esta función es suave? Mi cabeza me dice que debería ser un problema cuando $x=y=0$, pero no estoy seguro. ¿Me puede alguien ayudar hacia fuera?

Answer 1

A lo largo de la línea de $(x,y,z)=(t,0,0)$ la función parece $|t|$, no liso.

Answer 2

Tu intuición es correcta: aplicando la definición que da, por ejemplo, el derivado parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ ni siquiera existía en $(0, 0, 0)$, y por lo tanto $f$ no es incluso diferenciable una vez allí, y mucho menos suave.