He visto muchas aplicaciones de la topología de la Mecánica Cuántica (aislantes topológicos, Hall cuántico efectos, TQFT, etc.) ¿Alguno de estos fenómenos tienen nada en común?
¿Hay alguna explicación intuitiva de por qué topología es tan importante?
Hay una aplicación similar de topología en la Mecánica Clásica?
La topología es de fundamental importancia, incluso para los sistemas en la mecánica clásica. El espacio de configuración (o espacio de fase) de un genérico clásico sistema mecánico de un colector y los colectores son espacios topológicos con algo más de estructura (por ejemplo, una suave estructura en el caso de lisa colectores).
En el inicio de cualquier mecánica clásica problema, es necesario especificar topológica de la información.
Por ejemplo, cuando consideramos una partícula que se mueve en una dimensión, que podríamos considerar una partícula restringida a moverse en un colector compacto (como un círculo), o un no-compacto colector (como toda la recta real). En cada uno de estos casos, la topología global cambia drásticamente la naturaleza de las soluciones. Si, por ejemplo, la partícula se encuentre libre en cada uno de estos casos, a continuación, en el caso compacto (el círculo), la partícula siempre vuelve al mismo punto, después de un tiempo finito, mientras que en la no-compacto (la línea real), esto no puede suceder.
Adenda. Más allá de la importancia fundamental de la mecánica como se describió anteriormente, las propiedades topológicas de los clásicos sistemas mecánicos son importantes para demostrar la alta potencia teoremas acerca de los sistemas dinámicos. Si, por ejemplo, abrir Bases de la Mecánica por Abraham y Marsden (que en realidad es más una matemática de la física), a continuación, usted encontrará un capítulo denominado "dinámica topológica", donde encontrará los resultados como corolario 6.1.9;
Deje $M$ ser un equipo compacto, conectado, de dos dimensiones múltiples, $X\in\mathscr X(M)$ $A$ un conjunto mínimo de $X$. Entonces (i) a es un punto crítico, (ii) a es un cerrado órbita, (iii) $A=M$$M=S^1\times S^2$.
Observe que la instrucción de este corolario depende de la topológico supuestos que $M$ es compacto y conectado. Hay todo tipo de teoremas como este en los sistemas dinámicos. Ver la Recurrencia de Poincaré Teorema como otro ejemplo.
La actualización. (2014 - julio - 10)
Más interesante de la información y la discusión en los siguientes física.SE post:
¿Qué tipo de colector puede ser el espacio de fase de un Hamiltoniano del sistema?
Ver también los enlaces en los comentarios a ese post, especialmente a mathoverflow.
La actualización. (2014 - julio - 16)
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