Conmutadores de Funtores Tor con Límites Directos

Question

¿Podría alguien proporcionar un esbozo de una prueba del hecho de que el functor Tor conmuta con los límites directos?

He estado intentando demostrar que el Tor de un módulo con el límite directo de una familia de módulos satisface la propiedad universal requerida, pero parece demasiado complejo.

Answer 1

Lo que sí es cierto es que $\rm Tor$ se desplaza con filtrado colímetros. Ya sabemos que $M\otimes -$ se desplaza con colímetros, ahora gira a la derecha $R$ -Módulo $M$ y un sistema $(N_i,\psi_{ji})$ de la izquierda $R$ -sobre algún conjunto filtrado $I$ . En primer lugar, podemos obtener una breve secuencia exacta de sistemas filtrados

$$0\to (K_i,\rho_{ji})\to (P_i,\tilde\psi_{ji})\to (N_i,\psi_{ji})\to 0$$

cubriendo $N_i$ por $P_i=R^{(N_i)}$ por $e_n\to n$ y definiendo $\tilde \psi_{ji}(e_n)=e_{\psi_{ji}n}$ la condición $\psi_{kj}\psi_{ji}=\psi_{ki}$ es inmediatamente heredado por el $\tilde \psi_{ji}$ de forma similar para los morfismos inducidos $\rho_{ji}:K_i\to K_j$ . Desde $I$ está filtrada, $\rm colim$ es exacta dando una secuencia exacta

$$0\to {\rm colim}\; K_i \to {\rm colim}\; P_i \to {\rm colim}\;N_i\to 0$$

Llama a los términos $K,P,N$ por brevedad. Dado que cada $P_i$ es plana y $I$ está filtrada, $P$ es plana. Podemos entonces utilizar la secuencia exacta larga para $\rm Tor$ y obtener un diagrama $\require{AMScd}$ $$\begin{CD} \\ {\rm Tor_1}\;(M,P) @>>> {\rm Tor_1}\;(M,N) @>>> M\otimes K @>>> M\otimes P \\ {}&{}& {} &{}& @VVV @VVV \\ {\rm colim}\;{\rm Tor_1}\;(M,P_i)@>>> {\rm colim}\;{\rm Tor_1}\;(M,N_i)@>>> {\rm colim}\; M\otimes K_i@>>> {\rm colim}\; M\otimes P_i' \\ \end{CD}$$

Las dos primeras columnas desaparecen ya que $P_i,P$ son planas, y las dos últimas columnas están conectadas por isomorfismos naturales que dan un diagrama conmutativo. Se puede comprobar que si se tiene un diagrama conmutativo incompleto con filas exactas $$\begin{CD} \\ 0@>>> A @>>> B @>>> C \\ {}&{}& {} &{}& @VVV @VVV \\ 0 @>>> A' @>>> B' @>>> C' \\ \end{CD}$$

siempre se puede completar, y el morfismo introducido es un isomorfismo si ambas flechas verticales lo son. Esto da el isomorfismo para $n=1$ . El caso $n\geqslant 1$ se maneja mediante el cambio de dimensión. De hecho, obtenemos un diagrama $$\begin{CD} \\ 0@>>> {\rm Tor}_2(M,{\rm colim}\;N_i) @>\partial >> {\rm Tor}_1(M,{\rm colim}\;K_i) @>>> 0 \\ {}&{}& {} &{}& @VVV \\ 0 @>>> {\rm colim}\;{\rm Tor}_2(M,N_i) @>\partial >> {\rm colim}\;{\rm Tor}_1(M,K_i) @>>> 0 \\ \end{CD}$$

y obtenemos el isomorfismo deseado conjugando el isomorfismo vertical. Se puede demostrar que el isomorfismo inducido es natural, como el de $M\otimes {\rm colim}$ y ${\rm colim}\; M\otimes $ pero eso es un poco más tortuoso. Nótese que esto da la naturalidad de todos los isomorfismos superiores, ya que se obtienen componiendo los morfismos de conexión naturales y el isomorfismo natural en el caso $n=1$ .

Answer 2

Una pista. Toma una secuencia corta y exacta $0\to K\to F\to N\to 0$ , donde $F$ es proyectiva (o libre). A continuación, utilice la larga secuencia exacta de homología para Tor y la inducción en $n$ .