Determinar el tercer punto del triángulo rectángulo sólo conociendo las coordenadas de los otros dos puntos

Question

Tengo un triángulo rectángulo $ABC$ . Me dan las coordenadas de los dos puntos $A(x_1, y_1)$ y $C(x_2, y_2)$ . Dados los puntos $A$ y $C$ Quiero determinar las coordenadas de $B$ . Sé que hay dos soluciones para esto. Quiero encontrar ambas.

Answer 1

Hay muchas soluciones para $B$ :

Dibuja un círculo a través de los puntos $A$ y $C$ con diámetro $|AC|$ entonces todos los puntos de esa circunferencia, excepto $A$ y $C$ son soluciones

Esto se llama Teorema de Tales

Podemos encontrar los puntos de esta circunferencia encontrando primero la ecuación de ese círculo con centro

$$O=\dfrac{A+C}{2}$$

Tomando su ejemplo: $A=(4,3)$ y $C=(2,1)$ encontramos que

$$O=\dfrac{(4,3)+(2,1)}{2}=\dfrac{(6,4)}{2}=(3,2)$$

Y el radio del círculo es $|AO|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

Así que la ecuación de ese círculo es $$(x-3)^2+(y-2)^2=2$$

Todos los puntos $B=(x,y)$ que satisfacen esta ecuación, excepto $A$ y $C$ hacer un triángulo rectángulo con los puntos dados.

Resolvamos la ecuación para $y$ :

$$y=\pm \sqrt{2-(x-3)^2}+2$$

Por lo tanto, elija un valor para $x$ pero asegúrese de que la parte bajo la raíz cuadrada no sea negativa, y esto le dará dos valores válidos para $y$ ¡!

Ejemplo: elija $x=3$ entonces la fórmula da $y=\pm \sqrt{2}+2$ así que $$B=(3,\sqrt{2}+2)$$

Es una de las muchas soluciones.

Answer 2

Prácticamente... entre dos clavijas colocadas $ d= 2 \sqrt 2 $ distancia de prensa dos lados (no hipotenusa) de un conjunto cuadrado o triángulo tocando y mismo tiempo girando. Observa que el vértice que forma un ángulo recto puede ser desplazado a muchos puntos de hecho, alrededor de un círculo de diámetro $d$ .