Geometría - Pentágono

Question

Este es un programa exigente que tengo tiempo difícil para encontrar la respuesta. Alguien me puede ayudar? Muchas gracias de antemano.

Problema - En el pentágono regular $ABCDE$, punto de $M$ es el punto medio del lado $AE$, y los segmentos de $AC$ $BM$ se intersectan en el punto $Z$. Si $ZA = 3$, ¿cuál es el valor de $AB$? Exprese su respuesta en forma radical más simple.

Este es un dibujo para el problema:

Answer 1

Elegir el sistema de coordenadas de modo que $A = (0,0)$, $B = (\rho,0)$ y los otros tres vértices se encuentran en la mitad superior del plano. Identificar el plano de los números complejos, la cinco lados del pentágono corresponde a $$( AB, BC, CD, DE, EA ) \quad\leftrightarrow\quad (\rho,\rho\omega,\rho\omega^2,\rho\omega^3,\rho\omega^4)$$ donde $\omega = e^{2\pi i/5}$ es la primitiva $5^{th}$ raíz de la unidad.

En virtud de esta identificación,

$$B = AB = \rho\; C = AB+BC = \rho(1 + \omega) \quad\text{ y }\quad M = -\frac12 EA = -\frac{\rho}{2} \omega^4 = -\frac{\rho}{2} \bar{\omega}$$

Desde $Z$ se encuentra en la intersección de las $AC$$BM$, existe números reales $\lambda, \mu$ tal que $$AZ = \lambda AC = (1-\mu) AB + \mu AM$$ Este impies $$\frac{Z}{\rho} = \lambda( 1 + \omega) = (1-\mu) - \mu\frac{\bar{\omega}}{2} = \left[1 - \mu \left( 1 + \frac{\omega + \bar{\omega}}{2} \right)\right] + \frac{\mu}{2}\omega $$ Los corchetes en el lado derecho es claramente un número real. Mediante la comparación de la real y la parte imaginaria de la última igualdad, obtenemos:

$$\lambda = 1 - \mu\left(1 + \frac{\omega + \bar{\omega}}{2} \right) = \frac{\mu}{2} \implica \lambda = \frac{1}{3 + \omega + \bar{\omega}} $$

Esto implica

$$|AB| = \rho = \left|\frac{AZ}{\lambda(1 + \omega)}\right| = 3 \left|\frac{3+\omega+\bar{\omega}}{1+\omega}\right| = 3\left(\frac{3 + 2\cos\frac{2\pi}{5}}{2\cos\frac{\pi}{5}}\right) = 3\left(\frac{2+\phi}{\phi}\right) = 3\sqrt{5} $$

Answer 2

Deje $F$ ser la intersección de $AC$$BE$. Por el ángulo de la captura, obtenemos la siguiente imagen:

Ahora $\triangle BAF$ $\triangle BEA$ son similares, por lo que $$BF:BA = BA:BE,$$ o $$\frac yx = \frac{x}{x+y}=\frac{1}{1+y/x}.\tag{1}$$ La solución de que para $y$ en términos de $x$ hemos $$\frac yx = \frac{\sqrt{5}-1}2.$$

Ahora aplicar Menelao Teorema de a $\triangle AEF$ con $M$, $Z$, $B$ colinear tenemos $$\frac{EM}{MA}\cdot \frac{ZA}{ZF}\cdot \frac{BF}{BE} = 1.\tag{2}$$ Tenga en cuenta que $EM = MA$, $$\frac{BF}{BE} = \frac{y}{x+y}=1-\frac{x}{x+y}=\frac{3-\sqrt{5}}2,$$ y $$\frac{ZA}{ZF} = \frac{3}{y-3}.$$ Por lo tanto, (2) se convierte en $$\frac{y-3}{3} = \frac{3-\sqrt{5}}2.$$ Así $$ y = \frac{9-3\sqrt{5}}{2}+3 = \frac{15-3\sqrt{5}}2.$$ Y llegamos $$ x = \frac xy \cdot y = \frac{\sqrt{5}+1}2 \cdot \frac{15-3\sqrt{5}}2$$

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Nota:

1. Estoy seguro de que hay más soluciones elegantes.
2. Uno puede evitar Menelao Teorema conectando $M$ con el punto medio $N$$AF$.