Soluciones del número entero de $n^2+n = 2x^2+2x$

Question

Sé que las soluciones de la ecuación de números enteros: $$ n^2+n = 2x^2+2x $ $ son

$$n = \frac{1}{4} (-(3 - 2 \sqrt{2})^m - \sqrt{2} (3 - 2 \sqrt{2})^m - (3 + 2 \sqrt{2})^m + \sqrt{2} (3 + 2 \sqrt{2})^m + 2),$$ $$x = \frac{1}{8} (2 (3 - 2 \sqrt{2})^m + \sqrt{2} (3 - 2 \sqrt{2})^m + 2 (3 + 2 \sqrt{2})^m - \sqrt{2} (3 + 2 \sqrt{2})^m + 4),$$

$m \in \mathbb{Z}, m\ge0$

pero no entiendo cómo.

Alguien puede señalarme en la dirección correcta para resolver este problema.

Answer 1

Una manera de hacerlo es establecer $m=2n+1$ $y=2x+1$ y obtener el equivalente de la ecuación de Pell $m^2=2y^2-1$.

La solución fundamental es $m=1, y=1$ y la solución general viene de los extraños poderes de $1+\sqrt2$. Puedes pasar de una solución a otra multiplicando por $(1+\sqrt2)^2=3+2\sqrt2$. Esto le da $$ \pmatrix{ m_{k+1} \\ y_{k+1}} = \pmatrix{ 3 & 4 \\ 2 & 3} \pmatrix{ m_{k} \\ y_{k}}, \qquad \pmatrix{ m_{0} \\ y_{0}} =\pmatrix{ 1 \\ 1} $$ cuyos autovalores son $3 \pm 2 \sqrt2$. La solución general es una combinación lineal de potencias de estos autovalores.

Usted puede evitar los autovalores etc mediante la consideración de los poderes de la $1-\sqrt2$, lo que ayuda a extraer las dos partes.