¿Es $\{z\in\mathbb C\mid|\text{Re }z|+|\text{Im }z|\le1\}$ abierto o cerrado?

Question

Estoy intentando calcular hacia fuera si el conjunto de $\{z\in\mathbb C\mid|\text{Re }z|+|\text{Im }z|\le1\}$ está abierta o cerrada o tal vez nada de eso. Espero que alguien podría proporcionar una pista para solucionar esto. ¿Se puede visualizar este conjunto? Gracias

Answer 1

Es un conjunto cerrado. Realmente si identifica $\mathbb{C}$ $\mathbb{R}^2$, su conjunto es sólo la bola unidad cerrada de la norma 1.

Answer 2

El conjunto se cierra como la preimagen de un conjunto cerrado en un mapa continuo.

Su conjunto es el interior de la tetragon (incluyendo la frontera) en el plano complejo atravesado por el % de puntos $\pm i$, $\pm 1$ (ver imagen).

También puede pensar de él como la bola unidad cerrada en la $1$-norma.

Answer 3

$z\mapsto\left|\text{Re }z\right|+\left|\text{Im }z\right|$ De la función es continua y el sistema que mencionas es la preimagen del % conjunto cerrado $\left[0,1\right]$. Esto implica que el conjunto es cerrado.

Answer 4

Una idea: escribir un número complejo como par ordenado en el plano real:

$$\Bbb C\ni z=a+bi\longrightarrow (a,b)\in\Bbb R^2\;$$

Usted está interesado en el conjunto de

$$\{(a,b)\in\Bbb R^2\;:\;\;|a|+|b|\le 1\}$$

Que es la Plaza cerrada de lado $\;\sqrt2\;$ y, por supuesto, las diagonales de longitud $\;\sqrt2\sqrt2=2\;$ y vértices en $\;(1,0)\,,\,(0,1)\,,\,(-1,0)\,,\,(0,-1)\;$

Claramente, este sistema es cerrado.

Answer 5

Parte real, parte imaginaria, además, valor absoluto son continuos. Por lo tanto, su conjunto es la imagen inversa bajo una función continua de un subconjunto cerrado de $\mathbb R$, por lo tanto cerrado.