Continuidad uniforme al pasar a la línea verdadera extendida

Question

Asumir que $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua y $\lim_{x \to \pm \infty} f(x)$ existe. ¿Podemos sostenemos que $f$ es uniformemente continua, diciendo que es una extensión continua de $f$ a la línea real extendida (compactación de dos puntos)?

EDIT: Si lo anterior no es posible, podemos agregar a algunas hipótesis en $f$ que hace posible? Por ejemplo, ¿por qué si sabemos que $f$ es monotono?

Answer 1

Respuesta corta es "no", ligeramente más larga respuesta es " no, pero con un poco de cuidado a la idea de lo que puede ser llevado a través.

El problema es que los dos puntos compactification es una noción topológica mientras que el uniforme de la continuidad de una métrica de la propiedad (o más exactamente, se trata de una propiedad de uniformidad (véase el uniforme de espacios). En algo más de detalle, para hablar de la continuidad uniforme de las dos punto compactification usted necesita considerar una extensión de la métrica determinada a una métrica en la compactification. Hay más de una manera de definir una métrica que estarán de acuerdo con la topología para un poco de cuidado es necesario.

Answer 2

Un compacto espacio topológico $X$ admite una única estructura uniforme $\mathfrak{U}$ compatible con su topología (para mí, compacto implica Hausdorff); por otra parte, $\mathfrak{U}$ se compone de los barrios de la diagonal $\Delta$ $X\times X$ (para el producto de la topología).

Por otra parte, cualquier función continua $f : X \to X'$ $X$ anterior a un espacio uniforme $X'$ es uniformemente continua.

Con la habitual métrica en $\mathbb{R}$, un sistema fundamental de séquitos de su estructura uniforme es$V_{\epsilon} = \{(x,y) \in \mathbb{R}^2 \mid |x-y|< \epsilon \}$$\epsilon>0$. Usted puede comprobar fácilmente que la estructura uniforme en $\mathbb{R}$ inducida por $\overline{\mathbb{R}}$ es también el habitual.

En consecuencia, si $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ es continua y se extiende a algunos $\overline{f} : \overline{\mathbb{R}} \to \mathbb{R}$ continuo, $\overline{f}$ (y por lo tanto $f$) es uniformemente continua.

Aviso que esto no es cierto para cualquier compactification de $\mathbb{R}$, en general la estructura uniforme inducida por el compactification en $\mathbb{R}$ es estrictamente más fina que la de costumbre. Para un contraejemplo, construir una continua pero no uniformemente continua en función de $f : \mathbb{R} \to [0,1]$, y la extendemos a $\tilde{f} : \beta \mathbb{R} \to [0,1]$.

Sin embargo, todavía funciona para Alexandroff compactification (aka uno-punto compactification).