Un elemento es iff integral su polinomio mínimo tiene coeficientes integrales.

Question

Esto es a partir de la Teoría Algebraica de números por Neukirch

Deje $A$ ser integral de dominio que es integralmente cerrado, K su campo de fracciones, $L|K$ finita extensión de campo, y $B$ integral de cierre de $A$$L$.

Además, el hecho de que $A$ es integralmente cerrado tiene el efecto de que un elemento $\beta \in L$ integral $A$ si y sólo si su polinomio mínimo $p(x)$ toma sus coeficientes en $A$. De hecho, vamos a $\beta$ ser un cero de la monic polinomio $g(x) \in A[x]$.A continuación, $p(x)$ divide $g(x)$$K[x]$, de modo que todos los ceros $\beta_1, ..., \beta_n$ $p(x)$ son parte integrante de más de Una, de ahí que el mismo tiene para todos los coeficientes, en otras palabras $p(x) \in A[x]$.

Ahora mi pregunta es se $\beta_1, ..., \beta_n$ todas las raíces de $p(x)$ $L$ o $\bar K$, la clausura algebraica de $K$? Creo que esta unido sólo funcionará cuando consideramos todas las raíces de $p(x)$$\bar K$.