Dada una relación binaria $R \subseteq X \times Y$, obtenemos un antitone conexión de Galois $(F,U) : \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(Y)$ en la forma habitual:
La función de $U : \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(Y)$ está dado por $U(A) = \{y ∈ Y \,|\, \forall a \in A, (a,y) \in R\}.$
La función de $F : \mathcal{P}(Y) \rightarrow \mathcal{P}(X)$ está dado por $F(B) = \{x ∈ X \,|\, \forall b \in B, (b,x) \in R^\dagger\}.$
($R^\dagger$ indica lo contrario de $R$.)
Estoy interesado en un caso especial de esto. Suponga que $X$ es igual a $Y,$ y $R$ es una relación simétrica. Es decir, $R=R^\dagger$. A continuación, $U$ es igual a $F,$ así que vamos a escribir $C$ para cualquiera de los dos o ambos de $U,F$. En este caso, digamos que $C$ es la inducida por la conexión de $R.$
Podemos decir que es un poco diferente. Por el gráfico, dejar que nos referimos a un conjunto (no necesariamente finita) equipado con un simétrico binario relación (no necesariamente reflexiva o irreflexiva). A continuación, para cada gráfico de $(X,R)$, hay un inducida por la conexión de $C : \mathcal{P}(X) \rightarrow \mathcal{P}(X)$.
Pregunta. ¿Dónde puedo aprender más acerca de la conexión de Galois inducida por un gráfico en su propio powerset?
He aquí un par de ejemplos cotidianos.
Ejemplo 0. Para cada producto interior espacio de $H$, podemos asignar una relación $R \subseteq H \times H$ definido por la afirmación de que $(x,y) \in R$ fib $\langle x,y\rangle = 0.$, por Lo que la discusión anterior se aplica. La inducida por la conexión de $R$ es la función de $\mathcal{P}(H) \rightarrow \mathcal{P}(H)$ que se asigna a cada $A \subseteq H$ a su complemento ortogonal $A^\perp \subseteq H$. Esta conexión tiene la interesante propiedad de que $A \cap A^\perp = \{0\}$.
Ejemplo 1. Para cada grupo de $G,$ existe una relación $R \subseteq G \times G$ definido por la afirmación de que $(x,y) \in R$ fib $x$ viajes con $y$. A continuación, $R$ es simétrica. La inducida por la conexión de $R$ es la función de $C : \mathcal{P}(G) \rightarrow \mathcal{P}(G)$ que se asigna a cada $A \subseteq G$ a su centralizador $C(A) \subseteq X$. Nota que en este caso $A \cap C(A)$ no tiene igual $\{1\}$, en contraste con el ejemplo anterior. De todos modos, con un poco de pensamiento, en este ejemplo se puede generalizar, por lo que el $X$ es permitido ser un arbitrario resumen clon, o, equivalentemente, un Lawvere teoría. Este es el caso de principal interés para mí.
