Probar la integral de la función delta de Dirac es 1

Question

Se preguntaba si mi solución es matemáticamente exacta suficiente:

La pregunta en el libro de los rendimientos:

Derivar $$ 1=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x_i)\ dx_i $$ De $$ f(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f(x_i)\delta(x-x_i)\ dx_i $$ [Sugerencia: deje $f(x)=1$]

Mi método es el siguiente:

$$ f(x)=\int_{-\infty}^\infty f(x_i)\delta(x-x_i)\ dx_i $$

$$ f(x)=1 $$

así $$ 1=\int_{-\infty}^{\infty} \delta(x-x_i)\ dx_i $$

Creo que esto no es correcto. ¿Alguien sabe que es esto es correcto, o cómo hacerlo mejor?

Saludos

Answer 1

El error es que en la definición mencionada, f (x) tiene que ser soportado compactamente y hacerla constante igual 1 no es correcta.

Answer 2

Se ve bien. Sabemos que $$\delta_a(t-t_0)=\frac{1}{2a},\;\; \text{when}\;\;|t-t_0|<a\;\; \text{and}\;\;\delta_a(t-t_0)=0,\;\; \text{when}\;\;|t-t_0|\geq a$$ Here when $$ tends to zero, the resulted expression which is not a function at all, as you noted above, is: $$\lim\delta_a(t-t_0)=\delta(t-t_0)$$ Using $$\int_{-\infty}^{\infty} \delta_a(t-t_0)\ dt=1$$ we can characterized two peraperties below for that: $$\delta (t-t_0)=\infty,\;\; \text{when}\;\;t=t_0\;\; \text{and}\;\;\delta (t-t_0)=0,\;\; \text{when}\;\;t\neq t_0 $$ and $$\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-t_0)\ dt=1$%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% ps