Al comparar la expansión en serie de$\arctan(x^2)$ y$\arctan(x)$ en$x=0$, parece que se puede tomar el resultado de$\arctan(x)$ y reemplazar cada$x$ por% #% Para deducir la expansión en serie de$x^2$. ¿Esto es cierto en este caso específico o este enfoque es generalmente válido? ¿Tiene otros ejemplos o contraejemplos para esta observación?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Este enfoque es perfectamente válido. Cuando tenemos una serie$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$ $
Entonces reemplazando$x\mapsto x^2$ obtenemos
ps
Que es una serie de poder también con
$$ b_n = \begin{cases} a_{n/2},&\text{when %#%#% is even}\\ 0,&\text{otherwise} \end {casos} $$
Además, el radio de convergencia es$$\sum_{n=0}^\infty a_nx^{2n}=\sum_{n=0}^\infty b_nx^n$ donde$n$ es el radio de convergencia de la primera serie, porque
ps
La misma regla se aplica para el reemplazo$\sqrt{R}$ donde$R$ y luego el radio de convergencia es igual a$$|x^2|<R\implies |x|<\sqrt{R}$.
Yves Daoust
Puntos
30126
La expansión de la serie de $\arctan(x)$ converge para cualquier valor de $x$ en el radio de convergencia, $|x|<R$.
Pero son muy libres de establecer $x=t^2$, y la expansión de la serie evaluados en $x=t^2$ da el mismo resultado, que es, obviamente,$\arctan(t^2)$. La convergencia de condiciones se vuelve $|t^2|<R$.
Además, el formal de la serie como una función de la $x$ puede ser reescrita como una formales de la serie en términos de $t$, y por el recíproco de Taylor teorema de expansión, usted obtiene todos los derivados de $\arctan(t^2)$$t=0$.
