Supongo que usted significóai∈{−1,1}ai∈{−1,1}. El mismo argumento funciona sian=±1an=±1 y el resto delaiai están en el intervalo[−1,1][−1,1] o aún más generalmente si|an|≥|ai||an|≥|ai| para todosi∈{0,1,2…,n−1}i∈{0,1,2…,n−1}.
Si es así, asuma lo que usted tiene es cierto y obtendremos una contradicción.
Tenemosn−1∑i=0aipi=−anpn$$Estonosdan−1∑i=0aipi=−anpn$$Estonosda\left \vert \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^i \right \vert = \left \vert - a_n p^n \right \vert = p^n desde|−an|=1|−an|=1. Tenemos$$p^n = \left \vert \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^i \right \vert \leq \sum_{i=0}^{n-1} \left \vert a_i p^i\right \vert = \sum_{i=0}^{n-1} p^i = \dfrac{p^n-1}{p-1} \leq p^n-1 que nos da una contradicción.