5 votos

Polinomio con un número primo como raíz

¿Es posible probar que esta ecuación es falsa:

 sumni=0aipi=0 sumni=0aipi=0

Con las siguientes condiciones:

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org [¿Podríaai[1;1]ai[1;1] estar aquí?]
a{1,1}a{1,1} Es un número primo;
Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

7voto

Leg Puntos 14825

Supongo que usted significóai{1,1}ai{1,1}. El mismo argumento funciona sian=±1an=±1 y el resto delaiai están en el intervalo[1,1][1,1] o aún más generalmente si|an||ai||an||ai| para todosi{0,1,2,n1}i{0,1,2,n1}.

Si es así, asuma lo que usted tiene es cierto y obtendremos una contradicción.

Tenemosn1i=0aipi=anpn$$Estonosdan1i=0aipi=anpn$$Estonosda\left \vert \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^i \right \vert = \left \vert - a_n p^n \right \vert = p^n desde|an|=1|an|=1. Tenemos$$p^n = \left \vert \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^i \right \vert \leq \sum_{i=0}^{n-1} \left \vert a_i p^i\right \vert = \sum_{i=0}^{n-1} p^i = \dfrac{p^n-1}{p-1} \leq p^n-1 que nos da una contradicción.

6voto

ajotatxe Puntos 26274
¿Qué tal este?

4voto

Matthew Scouten Puntos 2518

Lo que es cierto es que sian=1an=1,p2p2 y todoai[1,1]ai[1,1], entoncesni=0aipi>0ni=0aipi>0.

1voto

Dave Griffiths Puntos 688

Nop=2p=2,n=1n=1,a0=1a0=1 ya1=12a1=12 da$$ a_0 + a_1p^1 = 1 -\frac 12 \cdot 2 = 0.

1voto

Hagen von Eitzen Puntos 171160

Dejar n=1n=1, an=1pan=1p, a0=1a0=1.

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