Polinomio con un número primo como raíz

Question

¿Es posible probar que esta ecuación es falsa:

$$\ sum_ {i = 0} ^ n a_i p ^ i = 0$$

Con las siguientes condiciones:

Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org [¿Podría$a_i \in [-1;1]$ estar aquí?]
$a\in\{-1,1\}$ Es un número primo;
Unesdoc.unesco.org unesdoc.unesco.org

Answer 1

Supongo que usted significó$a_i \in \{-1,1\}$. El mismo argumento funciona si$a_n = \pm 1$ y el resto del$a_i$ están en el intervalo$[-1,1]$ o aún más generalmente si$\vert a_ n\vert \geq \vert a_i \vert$ para todos$i \in \{0,1,2\ldots,n-1\}$.

Si es así, asuma lo que usted tiene es cierto y obtendremos una contradicción.

Tenemos $$\sum_{i=0}^{n-1} a_i p^i = - a_n p^n$ $ Esto nos da$$ \left \vert \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^i \right \vert = \left \vert - a_n p^n \right \vert = p^n desde$\vert -a_n \vert = 1$. Tenemos$$p^n = \left \vert \sum_{i=0}^{n-1} a_i p^i \right \vert \leq \sum_{i=0}^{n-1} \left \vert a_i p^i\right \vert = \sum_{i=0}^{n-1} p^i = \dfrac{p^n-1}{p-1} \leq p^n-1 que nos da una contradicción.

Answer 2

¿Qué tal este?

Answer 3

Lo que es cierto es que si$a_n = 1$,$p \ge 2$ y todo$a_i \in [-1,1]$, entonces$\sum_{i=0}^n a_i p^i > 0$.

Answer 4

No$p=2$,$n = 1$,$a_0 = 1$ y$a_1 = -\frac 12$ da$$ a_0 + a_1p^1 = 1 -\frac 12 \cdot 2 = 0.

Answer 5

Dejar $n=1$, $a_n=-\frac1p$, $a_0=1$.