Cerrado en$\ell^1$

Question

Mostrar que el conjunto de $$ B = \left\lbrace(x_n) \in \ell^1 : \sum_{n\geq 1} n|x_n|\leq 1\right\rbrace$$ es compacto en $\ell^1$. Sugerencia: puede utilizar sin la prueba de la diagonalización proceso a la conclusión de que cada delimitada secuencia $(x_n)\in \ell^\infty$ tiene una larga $(x_{n_k})$ que converge en cada componente, que es $\lim_{k\rightarrow\infty} (x_{n_k}^{(i)})$ existe para todo i. Por otra parte, las secuencias en $\ell^1$ son obviamente cerrado por la $\ell^1$-norma.

Yo: Cada delimitada secuencia $(x_n) \in \ell^\infty$ tiene una larga $(x_{n_k})$ que converge en cada componente. Que es $\lim_{k\rightarrow\infty} (x_{n_k}^{(i)})$ existe para todo i. .Y todas las secuencias en $\ell^1$ están delimitadas en $\ell^1$-norma. Quiero mostrar que cada secuencia $(x_n) \in B$, tiene un Cauchy larga. Elegir un N y M tales que para $l,k > M$ tal que $|x_{n_k}^{(i)} - x_{n_l}^{(i)}| < \frac{1}{N^2}$ $$\sum_i^N |x_{n_k}^{(i)} - x_{n_l}^{(i)}| + \sum_{i = N+1} ^\infty |x_{n_k}^{(i)} - x_{n_l}^{(i)}| \leqslant \frac{1}{N} + \frac{1}{N+1} \sum_{i = N+1} ^\infty i|x_{n_k}^{(i)} - x_{n_l}^{(i)}| \leqslant \frac{3}{N+1}$$ Se siente mal compine $M,N$ como esta, ¿no? ¿qué puedo hacer?

Answer 1

Podemos usar y revelar lo siguiente:

Deje $K\subset \ell^1$. Este conjunto tiene un pacto de cierre para la $\ell^1$ norma si y sólo si se cumplen las siguientes condiciones:

• $\sup_{x\in K}\lVert x\rVert_{\ell^1}$ es finito, y
• para todos los $\varepsilon>0$, podemos encontrar $N$ tal que para todo $x\in K$, $\sum_{k\geqslant N}|x_k|<\varepsilon$.

Estas condiciones son equivalentes a precompactness, es decir, que para todos los $r>0$, podemos encontrar un número finito de elementos $x^1,\dots,x^N$ de manera tal que las bolas centradas en $x^j$ radio $r$ cubierta $K$.

Answer 2

Para demostrar la compacidad de $B$ puede utilizar el siguiente teorema:

Un conjunto $A \subseteq \ell_1$ es compacto si y sólo si

1. $A$ está cerrado
2. $A$ es limitada
3. $\sup_{x \in A} \sum_{j \geq n} |x_j| \to 0$ $n \to \infty$

Cómo demostrar estas propiedades de $B$?

1. Deje $X:= \{x \in \ell_1; \sum_j j \cdot |x_j|<\infty\}$. Definir $$\|x\|_X := \sum_j j \cdot |x_j| \qquad (x \in X)$$ Then $(X,\|\cdot\|_X)$ is a normed space. Define $$T:X \to \ell_1, x=(x_j)_j \mapsto (j \cdot x_j)_j $$ Then $T$ is linear, surjective and isometric (in particular continuous) and therefore we conclude that $B=T^{-1}(B[0,1])$ se cierra como una pre-imagen de un subconjunto cerrado.
2. Deje $x=(x_n)_n \in B$, luego $$\|x\|_1 = \sum_{n \geq 1} |x_n| \leq \sum_{n \geq 1} n \cdot |x_n| \leq 1$$ where we used the definition of $B$ in the last equation. Hence $$\sup_{x \in B} \|x\|_1 \leq 1$$ which means that $B$ es acotada.
3. Utilice la siguiente estimación: Para todos los $x=(x_n)_n \in B$ tenemos $$\sum_{j \geq n} |x_j| = \frac{1}{n} \sum_{j \geq n} n \cdot |x_j| \leq \frac{1}{n} \cdot \sum_{j \geq n} j \cdot |x_j| \leq \frac{1}{n}$$

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Creo que desordenar las cosas. Usted escribió

Cada secuencia convergente $(x_n) \in \ell^\infty$ tiene un convergentes subsequence $(x^{n_k})$. Que converge componente sabio.

No tiene sentido en absoluto: Si consideramos una secuencia convergente $(x_n)_{n} \in \ell_\infty$, entonces es trivial el hecho de que existe una convergente larga (ya que toda la secuencia es convergente). Probablemente usted quería considerar una secuencia de secuencias, que se yo.e $(x^n)_n \subseteq \ell_\infty$ ( $x^n \in \ell_\infty$ ). Similares para la frase siguiente:

Y todas las secuencias en $\ell^1$ están delimitadas en $\ell^1$-norma.

Si usted toma uno (!) secuencia $x:=(x_n)_{n} \in \ell^1$, entonces (por definición) $\|x\|_1 < \infty$. Pero: Si consideramos una secuencia de secuencias, es decir,$(x^n)_n \subseteq \ell_1$, entonces no es trivial que la secuencia (de secuencias) es acotado, es decir,

$$\sup_n \|x^n\|_1 < \infty$$

Tienes que diferenciar entre

1. una secuencia $x:=(x_n)_n$ lo cual es un elemento de $\ell_1$, es decir, $\|x\|_1<\infty$
2. una secuencia en la $\ell_1$, es decir, $(x^n)_{n \in \mathbb{N}} \subseteq \ell_1$ donde $x^n \in \ell_1$ todos los $n \in \mathbb{N}$.