¿$1^i$ Y$1^{\frac{0}{0}}$ también dan$1$ de nuevo?

Question

Esta es la propiedad del número real$1$ que,

$1^n=1$ Esta propiedad sólo tiene$\forall n \in \mathbb R$ o también$1^i=1$ y$1^{\frac{0}{0}}=1$

Si esto es; Explicar cómo

Creo que no debería darnos$1$ de nuevo, ya que no podemos determinar cuál es la raíz cuadrada del número$-1$ y similarmente$\frac{0}{0}$ es indeterminado y por lo tanto no podemos continuar. Tal vez yo estoy equivocado.

Answer 1

$1^i$ es definido como: $e^{i \ln 1}$

$\ln 1$, sin embargo, no es nuestro verdadero logaritmo, pero es el más complejo; el punto es que es un multi-función con valores; para ser más precisos,

$$\ln z = \ln_\mathbb R |z| + (\arg z + 2k\pi)i$$

Donde con $\ln_\mathbb R$ me refiero a la costumbre real logaritmo.

Por lo $\ln 1 = \ln_\mathbb R 1 + (2k\pi)i = 2k\pi i$

Por lo tanto $$1^i = e^{i \ln 1} = e^{-2k\pi}$$

Por lo $1^i$ realmente no es un número, es más como un conjunto de números; todos los números en la forma de $e^{-2k\pi}$, $k \in \mathbb Z$.

El valor de $k=0$ es especial y es que a veces se llama el valor del capital; la elección de este valor de $k$ claramente los resultados en $1^i = 1$, pero es importante entender que el $1^i$ no es un número definido.

---

Tenga en cuenta que, como @Jonathan Y. puntos, un argumento similar también se aplica a las $1^{3/5}$. Y si se piensa que también para $\sqrt 1$, que no es un número, pero el conjunto $\pm 1$.

El punto es que podemos definir sin ambigüedad $\sqrt 1$ (toma el valor positivo) y $1^{3/5}$ (sólo hay una raíz real).

Uno podría pensar ingenuamente que podría hacerse lo mismo con $1^i$; acaba de definir en cierto modo, un valor especial y trabajar con eso. El punto es que no se puede hacer; no hay manera de especificar un valor sin ambigüedad y de llevar en todas las habituales reglas de álgebra. Así que seguimos con este multi valores de definición de si estamos en el plano complejo; si estamos en la recta real, en cambio, es posible definir $a^{b/c}$ como un valor único.

P. S. El principal valor que me he referido antes, es a veces útil, pero los problemas surgen si usted definir el logaritmo complejo como es el valor del capital. Una vez que comience el estudio de complejos de análisis y (por ejemplo) el teorema de los residuos se debe tener claro por qué :-)

Answer 2

$1^i$ Es una cantidad de varios valores$$e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta\implies e^{2n\pi i}=1\implies1^i=\color{RED}{e^{-2n\pi }}$$ for any integer $ n. $

Answer 3

Tal vez le gustaría saber que la exponenciación por número complejo no funciona muy bien. Las respuestas anteriores son correctas, pero ¿qué pasa si piensas así?

ps

¿Dónde está nuestro Dios ahora? Tienes que tener mucho cuidado al hacer la exponenciación con números complejos.