Prueba de Euler de la divergencia de la suma de los recíprocos de los primos

Question

En Wikipedia en enlace actualmente lo es:

\begin{align} \ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right) & {} = \ln\left( \prod_p \frac{1}{1-p^{-1}}\right) = -\sum_p \ln \left( 1-\frac{1}{p}\right) \\ & {} = \sum_p \left( \frac{1}{p} + \frac{1}{2p^2} + \frac{1}{3p^3} + \cdots \right) \\ & {} = \left( \sum_{p}\frac{1}{p} \right) + \sum_p \frac{1}{p^2} \left( \frac{1}{2} + \frac{1}{3p} + \frac{1}{4p^2} + \cdots \right) \\ & {} < \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + \sum_p \frac{1}{p^2} \left( 1 + \frac{1}{p} + \frac{1}{p^2} + \cdots \right) \\ & {} = \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + \left( \sum_p \frac{1}{p(p-1)} \right) \\ & {} = \left( \sum_p \frac{1}{p} \right) + C \end{align}

y como $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ diverge, también debe hacerlo $\sum_{p} \frac{1}{p}.$

Actualmente se habla de "audaces saltos de lógica" y "resultado correcto por medios cuestionables".

Sin embargo, ¿no sería una prueba válida si la invirtiéramos? Si asumimos $\sum_p \frac{1}{p}$ converge, no podemos simplemente ir a través de los pasos hacia atrás y encontrar $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ converge, ¿contradicción? El trabajo de Euler me parece razonable.

Answer 1

$ \ln \left( \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n}\right)$ no tiene ningún significado.
Es como tú dices $$\ln (\infty)=...$$
Pero $\ln x$ se define sobre números reales y no sobre "cualquier cosa que entendamos".
Pero todo el mundo entiende que Euler "entendió" que el método era correcto.
Por eso se le atribuye la prueba.