Sea$a,b,c\in\mathbb{R}$ para que la suma de dos de ellos nunca sea igual a$1$. Demuestre que al menos un$\frac{ab}{a+b-1},\frac{bc}{b+c-1},\frac{ca}{c+a-1}$ no puede estar en el intervalo$(0,1)$.
Lo aproché con contradicción, pero no puedo conseguir algo que no sea cierto.
Deja$0<\frac{ab}{a+b-1}<1$,$0<\frac{ac}{a+c-1}<1$ y$0<\frac{bc}{b+c-1}<1$.
Por lo tanto,$0<\frac{a^2b^2c^2}{\prod\limits_{cyc}(a+b-1)}<1$.
Por otra parte,$0<1-\frac{ab}{a+b-1}<1$,$0<1-\frac{ac}{a+c-1}<1$ y$0<1-\frac{bc}{b+c-1}<1$, lo que da
$0<\frac{(1-a)(b-1)}{a+b-1}<1$,$0<\frac{(1-c)(a-1)}{a+c-1}<1$ Y$0<\frac{(1-b)(c-1)}{b+c-1}<1$, lo que da
$0<\frac{-\prod\limits_{cyc}(a-1)^2}{\prod\limits_{cyc}(a+b-1)}<1$, Lo cual es una contradicción.
I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.
