Zerodivisores en anillos locales conmutativos finitos

Question

Deje $p$ ser una de las primeras y $r$ un entero positivo. Deje $\mathbb Z_{p^r}$ el anillo de los enteros modulo $p^r$. Cada cero divisor $z$ $\mathbb Z_{p^k}$ puede ser escrita en la forma $z=ap^k$ donde $a$ es una unidad.

1) Vamos ahora a $(R, \mathfrak m)$ ser finito conmutativa anillo local. Si el ideal maximal $\mathfrak m$ es el principal y generadas por $s$, entonces cada divisor de cero $z$ $R$ también puede ser escrita en la forma $z=as^k$ donde $a$ es una unidad, o necesidad de imponer algunas condiciones en el anillo de $R$ en orden a la conclusión de que la $z=as^k$ donde $a$ es una unidad?

2) Suponga ahora que el $(R, \mathfrak m)$ es finita conmutativa anillo local. Supongamos que el ideal maximal $\mathfrak m$ es generado por $s_1, s_2, \dots, s_l$. Lo que las condiciones que se imponen para el anillo con el fin de que un cero divisor $z$ puede ser escrita en la forma $z=a_1s_1^{k_1}+\cdots+a_ls_l^{k_l}$ donde $a_i$ son una de las unidades, para $i=1, \dots , l$?

Answer 1

En (1), el anillo de $R$ es asumido finito, así que es un Artin anillo local con el director de la máxima ideal (la principal máxima ideal por supuesto). De ello se desprende que $s^k=0$ algunos $k\geq 1$ (el máximo ideal de un Artin anillo local es nilpotent). El buen ideales de $R$ entonces $(0),(s),\ldots,(s^{k-1}),R$, y cualquier elemento no nulo de a $R$ puede ser escrito como $us^j$ $u\in R^\times$ una unidad y un único entero$j$$0\leq j\leq k-1$. Claramente, dicho elemento es un divisor de cero si y sólo si $j\geq 1$.

A ver por qué estos hechos mantenga pulsado el botón (concesión el hecho de que el máximo ideal de un Artin anillo local es nilpotent, y suponiendo que $k\geq 1$ es el entero más pequeño tal que $(s^k)=0$), deje $I$ ser un no-cero, propio ideal de $R$. A continuación,$I\subseteq (s)$, y hay un número entero $j$, $1\leq j\leq k-1$ tal que $I\subseteq (s^j)$ pero $I$ no está contenido en $(s^{j+1})$ (desde $I\neq 0$). Elija $r\in I$ tal que $r\notin(s^{j+1})$. A continuación,$r\in(s^j)$, así que podemos escribir $r=s^jr^\prime$ algunos $r^\prime$. Si $r^\prime\in(s)$$r\in (s^{j+1})$, lo $r^\prime\notin(s)$, $r^\prime$ es una unidad. Por lo $(s^j)=(r^\prime)\subseteq I$.

Si la inclusión en la cadena de $R\supseteq(s)\supseteq(s^2)\supseteq\cdots(s^{k-1})\supseteq 0$ no es estricta, es decir, si $(s^j)=(s^{j+1})$ algunos $j$$0\leq j\leq k-1$, $s(s^j)=(s^j)$ implica $(s^j)=0$ por Nakayama, una contradicción (desde $R\neq 0$ $k$ es el entero más pequeño $\geq 1$$(s^k)=0$).

Ahora si $r\in R\setminus\{0\}$, $r=(s^j)$ para $j$$0$$k-1$. Esto significa que podemos escribir $r=s^ju$ donde $u\notin(s)$ (debido a $u\in(s)$ implica $r\in(s^{j+1})\subseteq(s^j)$, lo $(s^j)=(s^{j+1})$, una contradicción que el anterior), que es, $u\in R^\times$.

Lo que es importante en la de arriba no es que $R$ es finito. Yo sólo se utiliza que deducir que $R$ es Artinian. Todo lo que he dicho es cierto para un arbitrario Artin anillo local con el director ideal maximal.

Realmente no entiendo tu segunda pregunta, porque usted dice que $R$ tiene como principal máxima ideal pero, a continuación, la lista de varios generadores.

Answer 2

Considerando un conmutativa local finito anillo de $R$ con el director de la máxima ideal:

Por Kaplansky del teorema, un finito conmutativa anillo local con un director de ideal maximal es un especial director de ideal del anillo. Si su máximo ideal es $aR$, entonces el resto de sus ideales son dadas por $a^nR$, lo que eventualmente será cero.

Claramente cada elemento de a $R$ es una unidad o es nilpotent. Deje $a^k r$ ser un divisor de cero con el poder de la $a$ tan alto como sea posible. (Esto equivale a determinar que $a^nR$ es y que no es.) Por nuestra elección de $k$, $a$ no divide $r$, por lo tanto $r$ es una unidad.

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Las condiciones para hacer la segunda parte se presentan son probablemente va a ser bastante raro. Básicamente está pidiendo que cada cero divisor es un producto de potencias de un director de ideal, y que los generadores de la máxima ideal son fijos.

Para ilustrar esto, considere el 8 elementos anillo local en esta pregunta. Desde el máximo ideal tiene plaza de cero, el producto de dos potencias de los principales ideales que va a ser cero, de modo que usted no puede conseguir nada, excepto las individuales, las potencias de los generadores que usted fija. Si usted escogió $(x,y)$ como en el ejemplo, usted no puede conseguir a $x+y$ como producto de la $x$'s y $y$'s con una unidad.