¿Cómo resuelves $a_{n+1}-2a_{n}=6\cdot 5^n$ $n\geq 1$?
No entiendo el texto en mi libro de texto. Quisiera que alguien me lo explique.
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Nuestro recurrencia es lineal. La teoría lineal de recurrencias nos dice que la solución general de nuestra recurrencia tiene forma de $a_n=G(n)+P(n)$ donde $G(n)$ es el general de la solución de la homogénea de la recurrencia de la $a_{n+1}-2a_n=0$, e $P(n)$ es algunos fijos en particular la solución de nuestros dada la recurrencia.
El homogeneos de recurrencia $a_{n+1}-2a_n$ es sencillo de manejar. Volver a escribir como $a_{n+1}=2a_n$. Esta dice que el $a_n$ dobles incrementamos $n$$1$.
Por lo tanto $G(n)=(C)(2^n)$ para algunas constantes $C$.
Una solución particular $P(n)$ puede ser un poco más difícil de encontrar. Vamos a buscar una solución de la forma $P(n)=(k)(5^n)$. Sustituyendo en nuestra ecuación original, obtenemos $$(k)(5^{n+1})-(2k)(5^n)=(6)(5^n).\tag{$1$}$$ Tenga en cuenta que $(k)(5^{n+1})=(5a)(5^n)$. Sustituir en $(1)$, y cancelar la $5^n$. Llegamos $3k=6$ y, por tanto,$k=2$. Por lo tanto $(2)(5^n)$ es una solución particular de nuestro recurrencia.
Así que la solución general de nuestra original recurrencia es $$a_n=(C)(2^n)+(2)(5^n),$$ donde $C$ es una constante arbitraria. Si además se nos dice lo $a_1$ es, podemos encontrar $C$.
aleemb
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Mediante La Generación De Funciones: Vamos A $\displaystyle A(x)=\sum_{n\geq0}a_nx^n$. A continuación, multiplique su recurrencia relación por $x^n$ y, a continuación, tomar la suma de $n\geq0$ para obtener $$ \sum_{n\geq0}a_{n+1}x^n-\sum_{n\geq0}2a_nx^n=\sum_{n\geq0}6\cdot5^nx^n $$ Ahora $$ \begin{align} \sum_{n\geq0}a_{n+1}x^n&=\frac{1}{x}\sum_{n\geq0}a_{n+1}x^{n+1}\\ &=\frac{1}{x}\sum_{n\geq1}a_{n}x^n\\ &=\frac{1}{x}\left(\sum_{n\geq0}a_{n}x^n-a_0\right)\\ &=\frac{1}{x}A(x)-\frac{a_0}{x} \end{align} $$ Es fácil ver que $$ \sum_{n\geq0}2a_nx^n=2A(x) $$ y $$ \sum_{n\geq0}6\cdot5^nx^n=6\sum_{n\geq0}(5x)^n=\frac{6}{1-5x} $$
Así que usted tiene $$ \frac{1}{x} (x)-\frac{a_0}{x}-2A(x)=\frac{6}{1-5x} $$ Si a solucionar esto por $A(x)$, se obtiene $$ Una(x)=\frac{6}{(1-5x)(1-2x)}+\frac{a_0}{1-2x} $$
Ahora observar que $$ \begin{align} \frac{6x}{(1-5x)(1-2x)}&=-\frac{2}{1-2x}+\frac{2}{1-5x}\\ &=-2\sum_{n\geq0}(2x)^n+2\sum_{\geq0}(5x)^n\\ &=\sum_{n\geq0}\left(-2^{n+1}+2\cdot5^n\right)x^n \end{align} $$
También es fácil ver que $$ \frac{a_0}{1-2x}=\sum_{n\geq0}a_02^nx^n $$ La combinación de estos, se han $$ Una(x)=\sum_{n\geq0}\left(-2^{n+1}+2\cdot5^n+a_02^n\right)x^n $$ Por lo tanto $$ a_n=(a_0-2)2^n+2\cdot5^n $$
Anthony Shaw
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Un Cálculo Funcional Enfoque
Deje $S$ ser el operador de desplazamiento; es decir $S(f(n))=f(n+1)$. $$ (S-2)a(n)=6\cdot5^n $$ Formalmente, la inversa de a $S-2$ es $$ -\frac12(1+S/2+S^2/4+S^3/8+\dots) $$ Por desgracia, esto no convergen para la secuencia dada, así que vamos a considerar $1-2S^{-1}$: $$ (1-2S^{-1})a(n)=6\cdot5^{n-1} $$ Formalmente, la inversa de a $1-2S^{-1}$ es $$ 1+2S^{-1}+4S^{-2}+8S^{-3}+\dots $$ La aplicación de este da una solución particular $$ \begin{align} a(n) &=6\cdot5^{n-1}+2\cdot6\cdot5^{n-2}+4\cdot6\cdot5^{n-3}+8\cdot6\cdot5^{n-3}+\dots\\ &=6\cdot5^{n-1}\left(1+\frac25+\frac4{25}+\frac8{125}+\dots\right)\\ &=6\cdot5^{n-1}\frac1{1-2/5}\\ &=2\cdot5^n \end{align} $$ También tenemos la solución homogénea de $C\,2^n$$(S-2)a(n)=0$, por lo que la solución general es $$ a_n=2\cdot5^n+C\,2^n $$
Una Serie Geométrica Enfoque
Deje $a_n=2^n\,b_n$. A continuación, la repetición se convierte en $$ 2^{n+1}b_{n+1}-2^{n+1}b_n=6\cdot5^{n} $$ Que es $$ b_{n+1}-b_n=3\cdot(5/2)^n $$ Usando la fórmula para la suma de una serie geométrica, obtenemos que $$ b_{n+1}-b_0=\frac{3\cdot(5/2)^{n+1}-3}{5/2-1} $$ lo que da $$ b_n=2\cdot(5/2)^n+C $$ y volviendo a $a_n$: $$ a_n=2\cdot5^n+C\,2^n $$
