Encontrar la suma de los dígitos de $9 \cdot 99 \cdot 9999 \cdot ... \cdot (10^{2^n}-1)$

Question

Encuentra la suma de los dígitos (en términos de $n$ ) de $$9 \cdot 99 \cdot 9999 \cdot 99999999 \cdot ... \cdot (10^{2^n} - 1)$$ Donde cada término tiene dos veces más dígitos que el anterior.

Intenté factorizar como $$(10-1)(10^2-1)(10^4-1)...(10^{2^n}-1)$$ y todas son diferencias de dos cuadrados (excepto para el primer término) $$(10-1)(10-1)(10+1)(10^2-1)(10^2+1)(10^4-1)(10^4+1)...(10^{2^n-1}-1)(10^{2^n-1}+1)$$ pero esto no parece ayudar mucho. También lo intenté con la base 10 pero no funcionó en absoluto. ¿Alguna idea?

Answer 1

Asumamos que $N$ es un número con $2^k-1$ dígitos decimales, cuyo último dígito es $ \geq 1$ .
Deje que $S(N)$ ser la suma de los dígitos de $N$ . Estudiemos la suma de los dígitos de $$ N \cdot (10^{2^k}-1) = N \cdot 10^{2^k}- N = N \cdot 10^{2^k} - 10^{2^k} + (10^{2^k}-1-N)+1. $$ Lo hemos hecho:

$$ S(N \cdot (10^{2^k}-1)) = S(N)-1+ \left (9 \cdot (2^k-1)-S(N)+9 \right )+1 $$ y es muy interesante notar que tal suma no depende de $S(N)$ pero simplemente es $9 \cdot 2^k$ .
El número

$$ N = 9 \cdot 99 \cdot 9999 \cdots (10^{2^{k-1}}-1) $$ tiene $2^k-1$ dígitos decimales, siendo el último de ellos $1$ o $9$ .
Por inducción se deduce que $$ S \left (9 \cdot 99 \cdots (10^{2^k}-1) \right ) = \color {red}{9 \cdot 2^{k}}.$$

Answer 2

Bien, entonces el primer par de números y la suma de sus dígitos son:

\begin {arriba}{ccc} n & num(n) & suma(n) \\ \hline 0&9&9 \\ 1&891&18 \\ 2&8909109&36 \\ 3&890910891090891&72 \\ \end {\i1}{\b1}

Así que esto sugiere que la suma de los dígitos será $9*2^n$ y si miras el número, entenderás por qué:

A medida que pasamos de $n$ a $n+1$ el último dígito de $sum(n)$ se baja por $1$ mientras que los dígitos se añaden después de eso que es el resultado de $10^{2^n}-num(n)$ y esos dígitos suman $sum(n)+1$ haciendo $sum(n+1)=sum(n)-1+sum(n)+1=2*sum(n)$ . Así que esto no es una prueba dura todavía, pero si puedes probar estas afirmaciones, entonces una prueba inductiva hará el resto.