¿Cómo debo pensar muy amplio poleas?

Question

Definición. [Hartshorne] Si $X$ es cualquier esquema de $Y$, una invertible gavilla $\mathcal{L}$ es muy amplio relativo a $Y$, si hay un imersion $i:X \to \mathbb{P}_Y^r$ algunos $r$ tal que $i^\ast(\mathcal{O}(1)) \simeq \mathcal{L}$.

Mi pregunta es: ¿cuál es la manera correcta (interpretar de manera "correcta" como usted desea) a pensar muy amplio poleas? En particular, ¿por qué la palabra "suficiente"? ¿Qué es lo que tengo una gran cantidad de? Grado 1 elementos?

En el caso sencillo al $Y=\text{Spec}(A)$ es afín, a continuación, $i^\ast(\mathcal{O}(1))$ es sólo $\mathcal{O}(1)$ como se define en la $\text{Proj} A[x_0,\ldots x_r]$, es decir, es ella sheafification del grado 1 parte de el polinomio anillo de $A[x_0,\ldots,x_n]$. Así que parece que la definición más general es sólo la intención de generalizar este fenómeno. ¿Es esto cierto? Si es así, ¿por qué vale la pena generalizar? Lo especial de grado 1 elementos? La única cosa que puedo pensar es que el polinomio anillo se genera como un $A$-álgebra por su grado 1 elementos.

Como usted puede decir, mi pregunta es que no se muy bien formado, así que siéntase libre de agregar cualquier cosa que usted considere pertinente. También estoy feliz de ampliar en todo lo que he escrito aquí.

Answer 1

De forma intuitiva y por mi respuesta, estoy trabajando sobre un algebraicamente cerrado campo de $k$.

Yo personalmente creo que sobre invertible poleas como gavillas de funciones en un esquema, donde $s\in\mathcal L(U)$ puede ser evaluado en un punto de $P\in U$ en el sentido de que $s(P)$ es la imagen de $s$ menor a la de morfismos $\mathcal L(U) \to \mathcal L_P \cong \mathcal O_{X,P} \twoheadrightarrow \mathcal O_{X,P}/\mathfrak m_P=k(P)=k$. Por supuesto, esto depende del local de isomorfismo elegimos, pero si puedo elegir el mismo local de isomorfismo para$s_0,\ldots,s_n\in\mathcal L(U)$, $[s_0(P):\ldots:s_n(P)]\in\mathbb P_k^n$ está bien definido como un punto en el espacio proyectivo.

Por lo tanto, intuitivamente, $\mathcal L$ es muy amplio si estas funciones pueden servir de coordenadas, es decir, tengo suficientes funciones como para distinguir puntos - y, de hecho, esto es cerca de una alternativa caracterización, ver la Proposición II.7.3 en Hartshorne (página 152): Los morfismos $\varphi:X\to\mathbb P^n$ correspondiente a $\mathcal L$ y una elección de los mundiales de secciones $s_0,\ldots,s_n\in\mathcal L(X)$ es un cerrado de inmersión si y sólo si se separa puntos y vectores tangente, es decir,

1. Para cerrar los puntos de $P,Q\in X$ $P\ne Q$ existe $s\in V:=\langle s_0,\ldots,s_n\rangle$$s(P)=0$$s(Q)\ne 0$, usando mi por encima de la notación.
2. Para cada punto cerrado $P\in X$, la $\{ s\in V \mid s(P)=0 \}$ abarca el $k$-espacio vectorial $\mathfrak m_P\mathcal L_P/\mathfrak m_P^2\mathcal L_P$.

La segunda condición es un poco más sutil, pero me he encontrado con la intuición geométrica dada al final de esta entrada de blog bastante satisfactorio.

Answer 2

$\newcommand{P}{\mathbb{P}}\newcommand{E}{\mathscr{E}}\newcommand{O}{\mathscr{O}}\newcommand{L}{\mathscr{L}}$Permítanme en primer lugar un breve resumen de la construcción de EGA (II, 4.2). Deje $X$ $Y$ ser esquemas, $q : X \to Y$ una de morfismos, $\E$ un cuasi-coherentes $\O_Y$-módulo, y $\P(\E)$ el proyectiva paquete definido por $\E$. Hay un bijection entre el $Y$-morfismos de $X$ $\P(\E)$y de clases de equivalencia de pares de $(\L, \varphi)$ de los invertible $\O_X$-módulos de $\L$ y surjective homomorphisms $\varphi : q^*(\E) \to \L$, en virtud de la relación donde $(\L, \varphi)$ $(\L', \varphi')$ se identifica si existe un isomorfismo $\tau : \L \stackrel{\sim}{\to} \L'$ tal que $\varphi' = \tau \circ \varphi$. Esta correspondencia es tal que una de morfismos $r : X \to \P(\E)$ corresponde a la invertible $\O_X$-módulo de $r^*(\O_{\P(\E)}(1))$; ver EGA para los detalles. En el caso particular $\E = \O_Y^{n+1}$, $P = \P(\O_Y^{n+1}) = \P^n_Y$, de ello se desprende que morfismos $r : X \to \P^n_Y$ están en bijection con invertible $\O_X$-módulos de $\L$ y surjective homomorphisms $\varphi : q^*(\O_Y^{n+1}) \to \L$; pero $q^*(\O_Y^{n+1}) = \O_X^{n+1}$ y surjective homomorphisms $\O_X^{n+1} \to \L$ están en bijection con surjective homomorphisms $\O_{X,x}^{n+1} \to \L_x \stackrel{\sim}{\to} \O_{X,x}$, que están de nuevo en bijection con tuplas $(s_0, \ldots, s_n)$ de las secciones de $\L$ que generen $\L$ (es decir, no tienen en común ceros).

Ahora una invertible $\O_X$-módulo de $\L$ es muy amplio para $q$ si existe un cuasi-coherentes $\O_Y$-módulo de $\E$ y una inmersión $i : X \to P = \P(\E)$ tal que $\L$ es isomorfo a $i^*(\O_P(1))$. Enseguida se ve que esto es equivalente a la condición de que no existe un cuasi-coherentes $\O_Y$-módulo de $\E$ y un surjective homomorphism $\varphi : q^*(\E) \to \L$ de manera tal que la correspondiente de morfismos $X \to P = \P(\E)$ es una inmersión. Como vimos anteriormente, en el caso de $\E = \O_Y^{n+1}$, esto significa que $\L$ a nivel mundial es generado por $n+1$ secciones. Básicamente, el término muy amplio que se refiere a la global secciones: en términos generales, a $\L$ es muy amplio si hay "suficiente" global secciones para definir una inmersión en el espacio proyectivo.