¿Por qué es la impedancia de una resistencia de la misma en tiempo y frecuencia si la transformada de Laplace de una constante no es la misma constante?

Question

Estoy seguro de que esto es una pregunta tonta, pero si el Laplace transforma de una constante no es una constante, por ejemplo

$$\mathfrak{L}[1] = \frac{1}{s}$$

entonces ¿cómo es que la impedancia de un resistor es la misma en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia? Es decir, por qué, para un resistor de resistencia R,

$$\mathfrak{L}[R] = R~$$

¿No solo sacar el factor de $R$ y tiene $R \cdot \mathfrak{L}[1] = R \cdot \frac{1}{s}$?

Answer 1

La impedancia se realiza generalmente en el análisis de Fourier, no la transformada de Laplace, pero esa es una objeción. La realidad es que transformar la señal, no la impedancia. La impedancia es un operador que modifica la señal, y es el efecto que el operador tiene en la señal en el dominio transformado de que nos ocupamos.

Revisar, la básica lineal de los elementos del circuito son:

1. resistencia: $V=I\,R$ ($R$ real),
2. condensador: $V = \frac{1}{C}\int I \operatorname{d}t$, y
3. inductor: $V = - L \frac{\operatorname{d} I}{\operatorname{d} t}$.

Poniendo a todos en el mismo plano, podemos escribir todos los operadores que tienen la forma $V(t) = \int A(t,t')\, I(t') \operatorname{d}t'$. Haciendo así que los núcleos de los operadores ($A$) están dados por:

1. $R\, \delta(t-t')$,
2. $\frac{1}{C}\, \Theta(t'-t)$, y
3. $\frac{\partial}{\partial t} \delta(t-t')$,

respectivamente. La transformación de Fourier el dominio del tiempo del núcleo con respecto a $t$ y la transformación de Fourier inversa con respecto a $t'$ da el espacio de frecuencia de la representación de un núcleo, $V(\omega) = \int A(\omega,\omega')\, I(\omega') \operatorname{d}\omega'$. Para los tres lineal de los elementos de su dominio de la frecuencia angular núcleos son:

1. $R\, \delta(\omega-\omega')$,
2. $\frac{1}{i\omega C}\, \delta(\omega-\omega')$, y
3. $i\omega L\, \delta(\omega-\omega')$.

La versión corta generalmente es: la transformada de Fourier/transformadas de Laplace son lineales, por lo que la multiplicación de una versión de la señal es la misma que la multiplicación de los otros por la misma constante; los derivados de convertirse en la multiplicación por frecuencia; y las integrales se convierten división por frecuencia.

Answer 2

cómo es que la impedancia de un resistor es la misma en el dominio del tiempo como en el dominio de la frecuencia

Si dos dominio del tiempo, las cantidades son proporcionales, entonces su dominio de Laplace representaciones son proporcionales:

$$v(t) = Ri(t) \Leftrightarrow V(s) = RI(s)$$

donde $R$ es una constante. Esta es una propiedad de la transformada de Laplace debido a la linealidad de la integración.

Pero no es del todo correcto llamar a $R$ de la impedancia en el dominio del tiempo; el concepto de impedancia (en general) asume CA de estado estable (excitación sinusoidal en el que todos los transitorios se han desintegrado a la insignificancia).

Más al punto, la impedancia de un elemento de circuito es la relación entre el fasor de voltaje a fasor de corriente:

Un fasor es representado por una constante número complejo, generalmente expresado en forma exponencial, en representación de la amplitud compleja de (magnitud y fase) de una función sinusoidal del tiempo. Phasors son utilizado por los ingenieros eléctricos para simplificar los cálculos que implican los sinusoides, donde se puede reducir a una ecuación diferencial del problema a una expresión algebraica.

La impedancia de un elemento de circuito puede ser definido como el cociente de la fasor de voltaje a través del elemento para el fasor de corriente a través de la elemento, como se determina por la relación de las amplitudes y las fases de la el voltaje y la corriente.