¿Puede un total espacio métrico racional completado?

Question

Llamemos a un espacio métrico $(M,d)$ un total espacio métrico racional si:

1. Cada $x,y\in M$, $d(x,y)\in\mathbb{Q}$ %.
2. Cada $x\in M$ y cada racional $q\geq0$ allí existe un $y\in M$ tal que $d(x,y)=q$.

¿Puede un total espacio métrico racional completado?

Answer 1

Aquí es un ejemplo. Deje $M$ ser el conjunto de todos los subconjuntos ordenados de $\mathbb{Q}_+$ (el positivo racionales). Poner una métrica en $M$ como sigue: dado distintas $X,Y\in M$, vamos a $q$ ser el mínimo elemento de la diferencia simétrica $X\mathbin{\triangle} Y$. Definir $d(X,Y)=1/q$.

Es fácil comprobar que esta es una métrica (de hecho, es un ultrametric), y es obvio que satisface (1). Satisface (2), ya que para cualquier $X\in M$ y cualquier $q\in\mathbb{Q}_+$, la $Y=X\mathbin{\triangle}\{1/q\}$ es un elemento de $M$ y satisface $d(X,Y)=q$.

Finalmente, puedo reclamar $M$ es completa. De hecho, si $(X_n)$ es una secuencia de Cauchy en $M$, lo que significa que para cada una de las $q\in\mathbb{Q}_+$, los conjuntos de $X_n\cap(0,q]$ finalmente se estabilice. Vamos $$X=\{q\in\mathbb{Q}_+:q\in X_n\text{ for all sufficiently large }n\}.$$ I claim that $X\in M$ and $(X_n)$ converges to $X$.

En primer lugar, para demostrar $X$ es bien ordenado y, por tanto, en $M$, vamos a $A\subseteq X$ ser cualquier subconjunto no vacío; decir $q\in A$. Elija $N$ tal que $X_n\cap(0,q]$ es constante para $n\geq N$. Entonces tenemos que $X\cap (0,q]$ es igual que el valor de la constante de $X_n\cap(0,q]$. En particular, $X\cap(0,q]$ es bien ordenado desde cada una de las $X_n$ es. Por lo tanto $A\cap(0,q]$ tiene al menos un elemento, que es también el menor elemento de a $A$.

Para demostrar $(X_n)$ converge a $X$, sólo tenga en cuenta que si $X_n\cap(0,q]$ es constante para$n\geq N$, $d(X_n,X)<1/q$ todos los $n\geq N$.

De manera más general, esta construcción funciona con $\mathbb{Q}_+$ reemplazado por cualquier subconjunto $Q\subseteq\mathbb{R}_+$, y le da un completo espacio métrico, cuya métrica toma valores en el conjunto $\{0\}\cup\{1/q:q\in Q\}$ y satisface el análogo de su condición (2).

(Este ejemplo está estrechamente relacionado con Hahn de la serie. De hecho, mi $M$ es realmente la Hahn serie campo $\mathbb{F}_2[[\mathbb{Q}_+]]$, con un ligero no estándar de la versión de la métrica inducida por la valoración.)