Inversa de la matriz

Question

$$U(a,b)=\left(\begin{matrix}a&b&b&b\\b&a&b&b\\b&b&a&b\\b&b&b&a\end{matrix}\right)$$ ¿Existe una manera fácil de encontrar la inversa de $U(1,2)$ ¿un truco para resolver este problema fácil? (es parte de un examen con respuestas)

Answer 1

Tenga en cuenta que $$U(a,b)U(c,d) = U(ac+3bd, bc+ad+2bd)$$ Esto se puede ver porque, si dejamos que $A$ sea la matriz cada una de cuyas entradas es $1$ ya que $U(a,b)=(a-b)I+bA$ y como $A^2=4A$ $$((a-b)I+bA)((c-d)I+dA)$$ $$ = (a-b)(c-d)I+(b(c-d)+d(a-b)+4bd)A$$ $$= ((ac+3bd)-(bc+ad+2bd))I+(bc+ad+2bd)A$$ Por lo tanto, si $U(a,b)^{-1}$ existe y es igual a $U(c,d)$ para algunos $c,d$ entonces tendríamos $ac+3bd=1$ y $bc+ad+2bd=0$ . La segunda ecuación nos da $$bc = -(a+2b)d$$ El determinante de $U(a,b)$ es en realidad $(a-b)^3(a+3b)$ Así que supongamos que $U(a,b)\neq 0$ para que ninguno de estos factores sea cero. Introduciendo lo anterior en la primera ecuación, $$-a(a+2b)d+3b^2d=b$$ $$\implies d = \frac{b}{-a^2-2ab+3b^2} = -\frac{b}{(a-b)(a+3b)}$$ Finalmente, $$c = \frac{a+2b}{(a-b)(a+3b)}$$ Por lo tanto, asumiendo $a\neq b$ y $a\neq -3b$ , $$U(a,b)^{-1}=U\left(\frac{a+2b}{(a-b)(a+3b)} , -\frac{b}{(a-b)(a+3b)}\right)$$

Answer 2

Esto es $$ (a-b)I + b J, $$ donde $I$ es la matriz de identidad y $J$ es la matriz de todos los unos.

La principal observación es que $J^2 = n J,$ con cuadrado $n$ por $n$ matrices. Aquí, $$ J^2 = 4 J. $$

Así que, resuelve $$ \left( (a-b)I + b J\right) \left( xI + y J\right) = I $$ Que se convierte en el sistema de ecuaciones en $x,y$ $$ (a-b)x = 1, \; \; \; (a-b) y + bx + 4by = 0 $$ $$ x = \frac{1}{a-b}, \; \; \; (a+3b) y + \frac{b}{a-b} = 0, $$ $$ x = \frac{1}{a-b}, \; \; \; y = \frac{-b}{(a-b)(a+3b)}. $$ EL INVERSO SOLICITADO ES $$ \frac{1}{a-b} I - \frac{b}{(a-b)(a+3b)} J $$ En particular, las entradas diagonales resultantes (que son $x+y$ ) son $$ \frac{a +2b}{(a-b)(a+3b)} $$

Nótese que a veces esto es imposible; es fácil encontrar los valores propios de la matriz original. Es decir, podemos saber fácilmente cuando no tiene inversa. Los valores propios son, simplemente, $(a+3b,a-b,a-b,a-b).$

Las columnas de la matriz siguiente son perpendiculares entre sí y son vectores propios de la matriz dada. No se trata de una matriz ortogonal, ya que las columnas tienen longitudes diferentes, pero eso se puede arreglar dividiendo las columnas por cuatro números distintos, a saber $2, \sqrt 2, \sqrt 6, \sqrt {12}$ $$ \left( \begin{array}{rrrr} 1 & -1 & -1 & -1 \\ 1 & 1 & -1 & -1 \\ 1 & 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right). $$

Answer 3

Nota $\, U = a + b x + b x^2 + b x^3\, $ para un circulante $x$ satisfaciendo $\,0 = x^4 - 1 = (x\!-\!1)\ (x\!+\!1)(x^2\!+\!1)$ . Por lo tanto, basta con calcular $U^{-1}\!\!\pmod{x^4\!-1}$ por CRT, trabajando en el módulo de los factores mencionados anteriormente.

${\rm mod}\ \color{#0a0}{(x\!+\!1)(x^2\!+\!1)}\!:\,\ U^{-1}\equiv \color{#c00}{\dfrac{1}{a\!-\!b}}\ $ por $\ x\equiv -1 $ o $\,x^2\equiv -1\,\Rightarrow\, U\equiv a\!-\!b\,$

${\rm mod}\ x\!-\!1\!:\, \ \dfrac{1}{a\!+\!3b}\equiv U^{-1}\equiv \color{#c00}{\dfrac{1}{a\!-\!b}} + c\:\color{#0a0}{(x\!+\!1)(x^2\!+\!1)}\equiv \dfrac{1}{a\!-\!b}+4c\ $ por $\ x\equiv 1$

por lo que $\ 4c \equiv \dfrac{1}{a\!+\!3b}-\dfrac{1}{a\!-\!b}\ $ por lo tanto $\ c \equiv \dfrac{-b\ \ \ }{(a\!-\!b)(a\!+\!3b)}$

Así, $\ U^{-1} = \underbrace{\dfrac{1}{a\!-\!b} + \color{#0a0}{c}}_{\large d\,} +\color{#0a0}{c\,(x\!+\!x^2\!+\!x^3)}\, =\, \bbox[6px,border:1px solid red]{U(d,\,c)}\,,\ $ $\, d = \dfrac{a\!+\!2b}{(a\!-\!b)(a\!+\!3b)}$

Answer 4

Utilizaré la estructura de una matriz circulante.

Dejemos que $T$ sea la matriz $$ T=\left(\begin{array}{cccc}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\1&0&0&0 \end{array}\right). $$ Tenemos $T^4=I$ y su matriz es $$ U(a,b)=C(T):=aI+bT+bT^2+bT^3. $$ La matriz $T$ tiene valores propios $1,i,-1,-i$ por lo que existe una matriz compleja $P$ tal que $P^{-1}TP=diag(1,i,-1,-i)$ . En realidad es fácil ver que (la transformada discreta de Fourier de la matriz 4x4 $$ P=\left(\begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ 1&i&-1&-i\\ 1&-1&1&-1\\ 1&-i&-1&i \end{array}\right) $$ funciona. La misma matriz $P$ diagonaliza todas las potencias $T^j$ y $U(a,b)$ tiene valores propios $C(1)=a+3b$ , $C(i)=a-b$ , $C(-1)=a-b$ y $C(-i)=a-b$ Así que $$ P^{-1}U(a,b)P=diag(a+3b,a-b,a-b,a-b). $$ De ello se desprende que $$ U(a,b)^{-1}=P\ diag(1/(a+3b),1/(a-b),1/(a-b),1/(a-b))\ P^{-1}. $$ Si encuentras un polinomio cúbico $Q(T)$ tal que $Q(1)=1/(a+3b)$ y $Q(\pm i)=Q(-1)=1/(a-b)$ entonces se puede deducir que $$ U(a,b)^{-1}=Q(T). $$