Necesito ayuda para contestar la siguiente pregunta:
¿Es posible colocar 26 puntos dentro de un rectángulo que es $20\, cm$ $15\,cm$ para que la distancia entre cada par de puntos es mayor que $5\, cm$?
Que no he aprendido ningún matemáticos maneras para encontrar una solución; Si tal vez los sí o no, a un problema como este así que sería muy útil si usted me pudiera ayudar con esta pregunta.
No, no lo es. Si asumimos que el $P_1,P_2,\ldots,P_{26}$ $26$ puntos distintos en el interior del rectángulo determinado, de tal manera que $d(P_i,P_j)\geq 5\,cm$ cualquier $i\neq j$, podemos considerar que los $\Gamma_1,\Gamma_2,\ldots,\Gamma_{26}$ como los círculos centrados en $P_1,P_2,\ldots,P_{26}$ radio $2.5\,cm$. Tenemos que tales círculos son disjuntas y encajar dentro de una $25\,cm \times 20\,cm$ rectángulo. Que es imposible, ya que el área total de $\Gamma_1,\Gamma_2,\ldots,\Gamma_{26}$ supera $500\,cm^2$.
Altamente no trivial de la mejora: es imposible encajar $25$ puntos dentro de una $20\,cm\times 15\,cm$ de tal manera que los distintos puntos están separados por una distancia de $\geq 5\,cm$.
Prueba: el rectángulo original puede ser cubierto por $24$ hexágonos con diámetro de $(5-\varepsilon)\,cm$. Asumiendo que es posible colocar $25$ puntos de acuerdo a las restricciones dadas, por el principio del palomar / Dirichlet caja del principio al menos dos puntos distintos en el interior del rectángulo se encuentran en el mismo hexágono, por lo que tienen una distancia $\leq (5-\varepsilon)\,cm$, contradicción.
La mejora más:
la representación de las particiones de un $15\,cm\times 20\,cm$ rectángulo $R$ $22$ piezas con diámetro de $(5-\varepsilon)\,cm$ demuestra que podemos encajar en la mayoría de las $\color{red}{22}$ $R$ de tal manera que se $\geq 5\,cm$ unos de otros.
Jack D'Aurizio la respuesta es agradable, pero creo que el siguiente es probablemente la solución de la intención de quien las plantea el rompecabezas:
Tenga en cuenta que $26=5^2+1$. Así que tal vez podemos dividir el $20\times15$ rectángulo en $5^2$ piezas, aplicar el principio del palomar, y será hecho. Que requeriría que nuestras piezas cada uno tiene de diámetro en la mayoría de los 5. Bueno, ¿cuál es la manera más obvia para dividir un $20\times15$ rectángulo en $5^2$ piezas? Respuesta: cortar en $5\times5$ rectángulos, cada uno de tamaño $4\times3$. Y he aquí, la diagonal de cada uno de los rectángulos tiene una longitud de exactamente 5 y hemos terminado.
tl-dr; No.
Esto puede ser pensado como un círculo de embalaje pregunta: tratar a cada punto como el centro de un círculo, y la distancia no mayor que la restricción se convierte en una círculos no se superponen restricción. (Es un poco diferente de la habitual "¿cuántos círculos se ajuste a", debido a que esta pregunta es "¿cuántos círculo-centros de ajuste" con el resto de cada círculo permitido sobresalir del rectángulo.)
El empaquetamiento más denso de los círculos que no se superpongan es la hexagonal de mosaico, donde cada círculo está contenida por (o inscritos en) un hexágono. (La descripción ubicación en el centro de cada círculo es también el centro de un hexágono, y de los centros de la más cercana a los vecinos de los círculos son los vértices de ese hexágono, da el mismo arreglo de círculos, pero con grandes hexágonos; El siguiente puede ser más fácil de entender con que no se solapan los hexágonos.)
La pregunta puede ser reformulada como: A 5 cm de espaciamiento, 26 de hexágono centros de encajar dentro de una de 20×15 cm rectángulo?
Podemos empezar por poner uno en una esquina; esto podría no ser necesario, pero no cubre el mínimo de área dentro del rectángulo de modo que no hay mejor punto de partida.
Desde el hex de mosaico tiene líneas rectas en el espacio mínimo, se puede poner una línea de puntos a lo largo de un borde del rectángulo a lo largo de los 20 cm de borde podemos poner 5 puntos (el último de los cuales está en la otra esquina).
Junto a esa primera línea de hexágonos podemos poner otra línea de hexágonos, también espaciados 5cm de simpatia, que va a ser $\frac{5\cdot\sqrt{3}}{2} \approx 4.33$cm de distancia de la primera línea. (Porque esa es la altura de un triángulo equilátero con lados de 5 cm de, y los puntos en la segunda línea son necesariamente de una posición privilegiada para equilaterial triángulos con los puntos en la primera línea.)
Con espaciado de línea, después de la primera línea, $\left \lfloor\frac{15\cdot2}{5\cdot\sqrt{3}}\right\rfloor=\left\lfloor\frac{15}{4.33}\right\rfloor=\left\lfloor3.36\right\rfloor=3$ más de líneas de hexágonos tienen algunos centros en el interior del rectángulo. Debido a las posiciones de los centros a lo largo de las líneas, que se alternan con 5 y con 4 centros en el interior del rectángulo.
Por lo que el número total de centros en el interior del rectángulo se $5+4+5+4=18$. Pero eso no puede ser un máximo, ya que podría ser posible para conseguir más con una orientación diferente.
El obvio siguiente orientación para probar es con la primera línea a lo largo de los 15 cm de lado: $\left\lfloor\frac{20}{4.33}\right\rfloor=\left\lfloor4.62\right\rfloor=4$, por lo que el número total de centros en el interior del rectángulo de esta manera se $4+3+4+3+4=18$.
Hay otra orientación que podría encajar más? La diagonal del rectángulo es $\sqrt{20^2+15^2}=25$, sólo lo suficiente para adaptarse a 6 centros a lo largo de la diagonal. La altura de la 15-20-25 triángulos en cada lado es de 12 cm, por lo que hay espacio para 2 líneas a cada lado de la diagonal. La primera línea en cada lado particiones fuera de un triángulo similar con $\frac{12-4.33}{12}\approx0.64$ de la altura, por lo que tiene una base de $0.64\times25\approx15.98$, por lo que en la mayoría de los 4 centros en cada una de esas líneas. La segunda línea en cada lado particiones fuera de un triángulo similar con $\frac{12-2\cdot4.33}{12}\approx0.28$ el (original) de altura, por lo que tiene una base de $0.28\times25\approx6.96$, por lo que en la mayoría de los 2 centros en cada una de esas líneas. Sin considerar la alineación esto le da un límite superior, el número máximo de centros dentro del rectángulo de esta manera es $2+4+6+4+2=18$.
Esto no es una rigurosa prueba, pero es suficiente para convencerme. Con una distancia mínima de exactamente 5 cm, a sólo 18 puntos puede encajar en el rectángulo, así que con todas las distancias estrictamente mayor de 5 cm no es posible colocar los 26 puntos.
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