Estadística de Fermi-Dirac vs. estadísticas de Maxwell-Boltzmann en la excitación atómica de sistemas láser

Question

En láseres, al relacionar los coeficientes de Einstein con la densidad de energía (que depende de la frecuencia) obtenemos, $$U(\nu)=\frac{\frac{B}{A}}{e^\frac{h\nu}{k_{B}T}-1}$$ Donde $B$ es el coeficiente de emisión espontánea y $A$ es el coeficiente de emisión estimulada.

Relacionamos esta densidad de energía con la fórmula de Planck para la densidad de energía de la radiación del cuerpo negro, que es $$U(\nu)=\frac{\frac{8(\pi)h\nu^{3}}{c^{3}}}{e^\frac{h\nu}{k_{B}T}-1}$$ Mientras hacemos todo esto, asumimos inversión de población (para un sistema de dos estados) y asumimos que los átomos del gas se comportan de manera maxwelliana. Esto es válido porque los átomos excitados siguen la estadística de Maxwell-Boltzmann. Supongamos que el estado fundamental tiene una energía $E_{1}$ y una población $N_{1}$ y que el primer estado excitado tiene una energía $E_{2}$ y una población $N_{2}$, entonces los relacionamos por $$\frac{N_{2}}{N_{1}}=e^{\frac{-h\nu}{k_{B}T}}$$ Mi pregunta es: La excitación puede ser de diferentes formas, atómica, térmica, etc.; pero cuando hablamos de excitación atómica, necesitamos abordar los electrones excitados dentro de los átomos y por ende introducir el concepto de espín porque los electrones son fermiones que obedecen el principio de exclusión de Pauli, así que ¿cómo podemos relacionar la población de electrones en estados fundamentales y excitados de manera maxwelliana? ¿No tendríamos que usar estadísticas de Fermi-Dirac aquí? Si usamos estadísticas FD, entonces ¿a qué densidad de energía deberíamos relacionar los coeficientes de energía? (porque no podemos relacionarlo con la densidad de energía de la radiación del cuerpo negro de Planck)

A continuación presento mis reflexiones:

$$\frac{N_{2}}{N_{1}}=\frac{1}{e^{\frac{-E_{f}+E}{k_{B}T}}+1}$$

Donde $$\frac{-E_{f}+E}{k_{B}T}=\frac{-\left[\frac{3n}{\pi}\right]^{\frac{2}{3}}\frac{h^{2}}{8m}+h\nu}{k_{B}T}$$

Defino una función $\gamma$ que varía con la frecuencia como $$\gamma(\nu)=-\left[\frac{3n}{\pi}\right]^{\frac{2}{3}}\frac{h}{8m}+\nu$$

$$U(\nu)=\frac{B_{21}}{A_{21}}\frac{1}{\frac{A_{12}}{A_{21}}}\frac{1}{e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}}+1}$$

$$\frac{A_{12}}{A_{21}}=\alpha$$ Ahora multiplicando el numerador y el denominador por $\alpha$ obtuve una ecuación que utilicé para comparar con la densidad de energía de radiación de cuerpo negro de Planck.

$$U(\nu)=\frac{B_{21}}{A_{21}}\alpha\frac{1}{\alpha^{2}e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}}-{[-\alpha^{2}+\alpha}]}$$

Ahora, al comparar la fórmula anterior con la densidad de energía de radiación de cuerpo negro, obtengo $\frac{B_{21}}{A_{12}}\alpha=\frac{8(\pi)h\nu^{3}}{c^{3}}$ y $-\alpha^{2}+\alpha=1$ Esta ecuación cuadrática da dos raíces reales y al comparar con $\alpha^{2}=1$ obtenemos en total tres valores posibles de alpha, es decir,

Caso uno: $\alpha= 1.618$

Caso dos: $\alpha=-0.618$

Caso tres: $\alpha=1$

Utilizando esto en la expresión de densidad de energía, obtuve Sea $\frac{B_{21}}{A_{21}}=\beta$

Caso uno : $$U(\nu)\approx\beta\frac{1}{e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}+0.5}+e^{-0.5}}$$

Caso dos : $$U(\nu)\approx\beta\frac{1}{e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}-0.5}+e^{0.5}}$$

Caso tres : $$U(\nu)=\beta\frac{1}{e^{\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}}}$$ Introduciendo otro término $\epsilon$, que es el potencial químico del sistema, observamos, $$\gamma(\nu)=-E_{f}+\nu-\epsilon$$ El caso tres cambia a $$U(\nu)=\beta\frac{1}{e^{\frac{(-E_{f}+\nu-\epsilon)h}{k_{B}T}}}$$ Ahora la aproximación de la serie de Taylor de e^x es $$e^{x}=1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+...\approx1+x$$ En frecuencias bajas $$\frac{\gamma(\nu)h}{k_{B}T}<<1$$ $$e^{\frac{(-\left[\frac{3n}{\pi}\right]^{\frac{2}{3}}\frac{h}{8m}+\nu- \epsilon)h}{k_{B}T}}\approx\frac{(-E_{f}+\nu-\epsilon)h}{k_{B}T }+1$$ Entonces la densidad de energía se convierte en

$$U(\nu)\approx\beta\frac{k_{B}T}{(-E_{f}+\nu-\epsilon)h+k_{B}T}$$

Al comparar esto con la densidad de energía de radiación de cuerpo negro de Planck, $$\frac{h\nu}{k_{B}T}+1=\frac{(-E_{f}+\nu-\epsilon)h}{k_{B}T }+1$$ Por lo tanto, digo que $$E_{f}\alpha\frac{-U}{N}$$ donde el último término es $\epsilon$, esto es cierto porque el potencial de Millikan (potencial químico de un electrón), hay una dependencia similar entre la energía de Fermi y el potencial químico.

Answer 1

Tus estados 1 y 2 son estados de un átomo, es decir, el núcleo y todos los electrones ligados tomados juntos, y por lo tanto tu etiquetado ya debería estar teniendo en cuenta las estadísticas de Fermi de los electrones en un solo átomo. En otras palabras, no se dice "el átomo a está en el estado 1 dos veces", sino que se diría "Excité un electrón para poner el átomo en el estado 2 y luego excitó un segundo para ponerlo en algún otro estado 3" y este esquema de etiquetado simplemente no se molesta en incluir estados prohibidos por el principio de exclusión.

Si los electrones en estados relevantes para la transición láser están fuertemente localizados (lo cual será el caso en un gas), entonces la cuestión de dos electrones de diferentes átomos tratando de ocupar el mismo estado nunca surge y en este caso las estadísticas de Fermi-Dirac se reducen a las estadísticas de Maxwell-Boltzmann. En otras palabras, puedo tratar a los electrones como distinguibles porque puedo decir que uno está en el átomo en la posición $\mathbf{x}$ mientras que el otro está en el átomo en la posición $\mathbf{y}$.