¿Cuál es la diferencia entre un componente y un factor en el análisis paralelo?

Question

El paquete psych en R tiene una función fa.parallel para ayudar a determinar el número de factores o componentes. Según la documentación:

Una forma de determinar el número de factores o componentes en una matriz de datos o una matriz de correlación es examinar el gráfico de "scree" de los autovalores sucesivos. Roturas bruscas en el gráfico sugieren el número apropiado de componentes o factores a extraer. El análisis "paralelo" es una técnica alternativa que compara el gráfico de factores de los datos observados con el de una matriz de datos aleatoria del mismo tamaño que el original. fa.parallel.poly hace esto para análisis tetracóricos o policóricos.

Cuando ejecuto la función obtengo la siguiente salida:

El análisis paralelo sugiere que el número de factores =  7  
                            y el número de componentes =  4

¿Cuál es la diferencia entre un factor y un componente?

Answer 1

Es posible que desees leer la explicación detallada de Dinno sobre la aplicación de la Análisis Paralelo de Horn al Análisis de Componentes Principales versus Análisis Factorial. Aquí tienes una breve síntesis:

El análisis de componentes principales (PCA) implica la descomposición de la matriz de correlación $\mathbf{R}$ (o menos comúnmente, la matriz de covarianza $\mathbf{\Sigma}$), para obtener los autovectores (los cuales son generalmente en lo que se basa la interpretación sustantiva de PCA), y los autovalores, $\mathbf{\Lambda}$ (en los cuales se basan decisiones empíricas de retención, como el análisis paralelo).

El análisis factorial común (FA) implica la descomposición de la matriz de correlación $\mathbf{R}$ con los elementos diagonales reemplazados por las comunalidades: $\mathbf{C} = \mathbf{R} - \text{diag}(\mathbf{R}^{+})^{+}$, donde $\mathbf{R}^{+}$ indica la inversa generalizada (también conocida como inversa de Moore-Penrose, o pseudo-inversa) de la matriz $\mathbf{R}$, para obtener también autovectores (los cuales también son generalmente en lo que se basa la interpretación sustantiva de FA), y autovalores, $\mathbf{\Lambda}$ (que al igual que en PCA, son en lo que se basan decisiones empíricas de retención, como el análisis paralelo).

Los autovalores, $\mathbf{\Lambda} = \{\lambda_{1}, \dots, \lambda_{p}\}$ ($p$ es igual al número de variables que producen $\mathbf{R}$) se ordenan de mayor a menor, y en un PCA basado en $\mathbf{R}$ se interpretan como distribuyendo $p$ unidades de varianza total bajo el supuesto de que cada variable observada contribuye 1 unidad a la varianza total. Cuando PCA está basado en $\mathbf{\Sigma}$, entonces cada autovalor, $\lambda$, se interpreta como asignando $\text{trace}(\mathbf{\Sigma})$ unidades de varianza total bajo el supuesto de que cada variable contribuye con la magnitud de su varianza a la varianza total. En FA, los autovalores se interpretan como asignando $< p$ unidades de varianza común; esta interpretación es problemática porque los autovalores en FA pueden ser negativos y es difícil saber cómo interpretar esos valores tanto en términos de asignación, como en términos de varianza.

El procedimiento de análisis paralelo implica:

1. Obtener $\{\lambda_{1}, \dots, \lambda_{p}\}$ para los datos observados, $\mathbf{X}$.
2. Obtener $\{\lambda^{r}_{1}, \dots, \lambda^{r}_{p}\}$ para datos no correlacionados (aleatorios) del mismo $n$ y $p$ que $\mathbf{X}$.
3. Repetir el paso 2 muchas veces, digamos $k$ veces.
4. Calcular el promedio de cada autovalor del paso 3 sobre $k$ para producir $\{\overline{\lambda}^{r}_{1}, \dots, \overline{\lambda}^{r}_{p}\}$.
5. Retener aquellos $q$ componentes o factores comunes donde $\lambda_{q} > \overline{\lambda}^{r}_{q}$

El análisis paralelo de Monte Carlo emplea un centil alto (por ejemplo, el 95$^{\text{vo}}$) en lugar de la media en el paso 4.

Answer 2

Se trata de componentes principales. Primero, encuentra los autovalores de la matriz de correlación que toma como entrada. Luego decide cuántos de esos valores son "razonablemente grandes" haciendo simulaciones y comparándolos con los valores simulados. Aquí está la parte clave del código:

valuesx <- eigen(rx)$values

y luego más adelante:

pc.test <- which(!(valuesx > values.sim$mean))[1] - 1
        results$nfact <- fa.test
    results$ncomp <- pc.test
    cat("El análisis paralelo sugiere que ")
    cat("el número de factores = ", fa.test, " y el número de componentes = ", 
        pc.test, "\n")

La función completa está escrita en R, por lo que puedes leer su código fuente escribiendo su nombre en la terminal de R.

Aquí tienes una presentación que compara el análisis factorial con el PCA y que espero responda tu pregunta (mira la última diapositiva en particular):

http://www.stats.ox.ac.uk/~ripley/MultAnal_HT2007/PC-FA.pdf

Answer 3

Actualmente hay dos líneas, una para el procedimiento de pca y la otra para el procedimiento de minres (predeterminado) a menos que se seleccione otro. El programa utiliza los fa$values y los eigenvalores fa$e.values. Los fa$values son los valores de la solución de factor común. Los fa$values son menores que los eigenvalores.