Mostrar la convergencia uniforme de una serie de la función

Question

Muestran que la función serie $$\large\sum_{k = 1}^\infty \frac1{\sqrt k((x - k)^2 + 1)}$ $

converge uniformemente en $\mathbb{R}$.

Me gustaría utilizar la prueba M de Weierstrass, pero no sé dónde empezar.

Answer 1

Debemos mostrar que todos $\epsilon>0$ allí existe un número $N$ $\epsilon$ que sólo que

$$\sum_{k=N}^\infty \frac{1}{\sqrt k \left((x-k)^2+1\right)}<\epsilon$$

Tenemos que dejar que $\ell =\lfloor x\rfloor -k$,

$$\begin{align} \sum_{k=N}^\infty \frac{1}{\sqrt k \left((x-k)^2+1\right)}&=\sum_{\ell=-\infty}^{\lfloor x\rfloor -N} \frac{1}{\sqrt {\lfloor x\rfloor-\ell} \left((\ell +x-\lfloor x\rfloor)^2+1\right)}\\\\ &\le \frac{1}{\sqrt N}\sum_{\ell =-\infty}^{\lfloor x\rfloor -N}\frac{1}{(\ell +x-\lfloor x\rfloor)^2+1}\\\\ &\le \frac{1}{\sqrt N}\sum_{\ell =-\infty}^{\infty}\frac{1}{\ell ^2+1}\\\\ &=\frac{1}{\sqrt N} \pi \coth(\pi)\\\\ &<\epsilon \end {Alinee el} $$

$N>\left(\frac{\pi \coth(\pi)}{\epsilon}\right)^2$