La intuición para el Universal Acorde Teorema de

Question

Por lo que el Universal Acorde teorema es una afirmación y prueba de que;

Los números de la forma $r = \displaystyle \frac{1}{n} \ \ n \ge 1$ son los únicos números tales que para cualquier función continua $\displaystyle f:[0,1] \to \mathbb{R}$ tal que $\displaystyle f(0) = f(1)$, hay algún punto de $\displaystyle c \in [0,1]$ tal que $\displaystyle f(c) = f(c+r)$.

La prueba es fácil de entender. No tengo dificultad con cualquier paso ni nada. Así, entiendo que la contraejemplos para no racional, y por qué fallan. Pero aún así parece absurdo que esto es como es. He estado dibujando un montón de gráficas de aquí en una página y no puedo ver ningún tipo de idea de por qué racionales debería funcionar, pero no las que no son racionales. Una vez oí que había intuición para encontrarse con la topología, pero no puedo encontrar en cualquier lugar en línea. Podría alguien por favor me ilumine por qué este teorema tiene sentido intuitivamente? (sin que se acaba de dar una prueba)

Answer 1

Vi resultó topológicamente imaginando envolver el gráfico alrededor de un cilindro de circunferencia de 1/n (que no se puede hacer de manera uniforme para cualquier otro número). A continuación, en el cilindro, la gráfica comienza en un punto de base, bucles alrededor de $n$ veces, luego vuelve a ser el punto. No es difícil ver que la curva debe intersectar en alguna parte (de lo contrario, no estaría en bucle); por lo tanto, obtenemos dos puntos de distancia $k/n$ aparte. Si alquilan 1/n aparte, entonces la gráfica de bucles alrededor de la linder al menos dos veces entre estos dos puntos, por lo que existe otro punto de intersección de dar un par de estrictamente más cerca de puntos.

Así que la razón intuitiva que sólo estos números es que ellos son la única posibilidad de circunferencias de los cilindros que en el gráfico se podría ajustar uniformemente alrededor.

En el otro sentido, tratar de envolver la unidad de intervalo de alrededor de un cilindro de algunos otros de longitud; los extremos no coinciden. A continuación, construir un monótono camino (I. e. siempre envoltura de la misma manera) de longitud que se sumerge, luego en círculos alrededor de diagonal varias veces y termina en el segundo punto (pruébalo y verás!). Este se desenvuelve en una ruta con las propiedades deseadas.

Answer 2

Universal Acorde Teorema (TCU) es un caso especial de ciertas topológico de la propiedad de avión continuum (un acotado, cerrado, conjuntos conectados), representada en este caso por una gráfica de alguna función continua $f$. En su papel de 1936 H. Hopf generalizada de Levy, resultado de la UCT por demostrar la siguiente propiedad de avión continuum:

Deje $K$ ser un plano continuo y $S(K)$ el conjunto de horizontal cordal longitudes de $K$. Entonces cualquier conjunto dado $M$ $S(K)$ algunos $K$ si y sólo si se complementa set $\mathbb R^+\setminus M$ está abierto, no está vacío y cerrado bajo la suma.

En su artículo de 1971 J. T. Rosenbaum considera la conexión de la UCT con esta propiedad fundamental demostrando que si para algunos $K$ consideramos que cualquier acorde de la longitud de la $c\in S(K)$, entonces todos los acordes con longitudes de $c/2$, $c/3$, ..., $c/n$, ... existirá en $K$, es decir, todas estas longitudes también pertenecen a $S(K)$. Esto es así porque si $M^*$ = $\mathbb R^+\setminus S(K)$ y $\exists n: c/n \in M^*$, luego $c/n$ + ... + $c/n$ ($n$ veces) = $c$ $c \in M^*$ demasiado, lo cual no es cierto porque $c \in S(K)$. Que, en el documento se deduce de la primera mitad del PRODUCTO de la Hopf es el resultado.

Para la segunda mitad, Rosenbaum a cabo la construcción especial de $M^*$ definir su $S(K)$ y mostrando que sólo estos integerly-divide los valores presentes en $S(K)$.

Volviendo a la original UCT redacción, se nos da $K=f$, que la condición de $f(0)=f(1)$ denota horizontal de una cuerda de longitud $c=1$. A continuación,$c/n=1/n$$S(K)=\{1/n|n \in \mathbb N\}$.

En síntesis, la intuición detrás de los valores de $1/n$ es representar a todos los armónicos de la originalmente dado cuerda de longitud 1. Nada en absoluto acerca de algunos "mejor tipo de números racionales" como podría parecer por el primer vistazo.

Answer 3

Intuitivamente, el problema se plantea para considerar que la función de $g$ donde $g(x) = f(x+r)-f(x)$ y ver si es siempre 0. Si nunca es 0, $g$ siempre es del mismo signo en $[0,1-r]$, y es natural salto de $f(0)$ $f(r)$ % # % y así sucesivamente, que debe ser estrictamente monótona secuencia, lo cual es imposible si $f(2r)$ es un múltiplo entero de $1$. Por otro lado, si $r$ no es un múltiplo entero de $1$, entonces en realidad podemos dejar $r$ ser tal que $f$ es una constante $g$, lo que hace que el salto puntos regularmente espaciados colineales secuencia, mediante la elaboración de un segmento de línea recta a partir de la última hop punto a $c$ y relleno en lo que sigue y por último el resto de la gráfica con el paralelo de los segmentos de línea.