Ejemplos de topología de productos $ \gg $ ¿topología de caja?

Question

Supongamos que tenemos $\{X_{\alpha}\}_{\alpha \in J}$ una familia indexada de espacios topológicos. Sea $X := \prod_{\alpha \in J}X_{\alpha}$ . Cuando tenemos un mapa $f_{\alpha} : A \rightarrow X_{\alpha}$ con un espacio topológico $A$ . Definir $f : A \rightarrow \prod_{\alpha \in J}X_{\alpha}$ por $a \mapsto (f_{\alpha}(a))_{\alpha \in J}$ .

La propiedad. Sabemos que $f$ es continua si y sólo si cada $f_{\alpha}$ es continua, una vez que se nos da la topología del producto en $X$ . Además, sabemos que esta propiedad no se cumple generalmente con la topología de caja en $X$ .

Después de revisar la definición, me parece que esta propiedad parece bastante trivial (o natural) ya que la topología del producto sólo recoge intersecciones finitas de imágenes inversas bajo proyecciones como conjuntos abiertos.

¿Puede alguien dar más ejemplos fuera de esta propiedad que expliquen por qué preferimos la topología del producto? Una buena lista de ejemplos evidentes será mucho más preferible que el enunciado de teoremas.

Answer 1

Considere $\mathbb{R}^\omega$ el producto contablemente infinito de $\mathbb{R}$ con ella misma. Es decir, $$\mathbb{R}^{\omega} = \prod_{n \in \mathbb{Z}_{+}}X_{n}$$ donde $X_{n} = \mathbb{R}$ para cada $n$ . Definamos una función $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^{\omega}$ mediante la ecuación $$f(t)=(t,t,t,...)$$ el $n^{\text{th}}$ función de coordenadas de $f$ es la función $f_{n}(t)=t$ . Cada una de las funciones de coordenadas $f_{n}: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ es continua; por lo tanto, la función $f$ es continua si $\mathbb{R}^\omega$ se da la topología del producto. Pero $f$ no es continua si $\mathbb{R}^\omega$ se le da la topología de caja. Consideremos, por ejemplo, el elemento base $$B = (-1,1) \times \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right) \times \left(-\frac{1}{3},\frac{1}{3}\right) \times \cdot\cdot\cdot$$ para la topología de caja. Afirmamos que $f^{-1}(B)$ no está abierto en $\mathbb{R}$ . Si $f^{-1}(B)$ estaban abiertos en $\mathbb{R}$ , contendría algún intervalo $(-\delta,\delta)$ sobre el punto $0$ . Esto significaría que $f((-\delta,\delta)) \subset B$ para que la aplicación de $\pi_{n}$ a ambos lados de la inclusión, $$f_{n}((-\delta,\delta)) = (-\delta,\delta) \subset \left(-\frac{1}{n},\frac{1}{n}\right)$$ para todos $n$ , lo cual es una contradicción.

Esperemos que este sea el tipo de ejemplo explícito que estabas buscando y que compare la topología del producto y la topología de la caja.

Answer 2

Creo que la compacidad es una propiedad tan importante que también vale la pena mencionarla aquí.

En la topología del producto podemos demostrar que si $X_{i}$ es compacto para todos los $i\in I$ entonces $\Pi_{i\in I}X_{i}$ es compacto, sin importar el conjunto de índices $I$ es. Esto también se conoce como el teorema de Tychonoff.

¿Esto también es válido para la topología de caja? Consideremos, por ejemplo $X_{i}=\{0,1\}$ para todos $i\in\mathbb{N}$ con la topología discreta. Evidentemente, estos son compactos, ya que las topologías son finitas. Sin embargo, el conjunto $\Pi_{i\in\mathbb{N}}X_{i}=\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ es incontable, y con topología de caja tiene la topología discreta. ¿Por qué? Porque para cualquier $x\in\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ tenemos $\{x\}=\{(x_{1},x_{2},...)\}=\Pi_{i\in\mathbb{N}}\{x_{i}\}$ y éste es un conjunto abierto en la topología de caja, ya que los singletons $\{x_{i}\}$ están abiertas en $\{0,1\}$ . Esto demuestra que $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$ es un espacio discreto incontable y, por tanto, no compacto. Por lo tanto, en la topología de caja, incluso un producto contablemente infinito de $2$ -Los conjuntos de puntos no son compactos.

Una nota más: $\{0,1\}^{\mathbb{N}}$  ni siquiera es Lindelöf en la topología de caja. Consideremos, por ejemplo, la cubierta abierta e incontable de los singletons, que no tiene una subcubierta contable (y, por tanto, tampoco finita).

Answer 3

1 - La topología de producto (PT) es la topología más gruesa sobre un espacio de producto que hace que cada proyección sea continua. es decir, la PT es la topología generada por las proyecciones. En ese sentido, la PT parece la topología más natural sobre productos (no sólo por el nombre...).

2 - Además, las PT tienden a tener una cardinalidad menor que las topologías de caja (BT) (especialmente si el espacio es grande). Naturalmente, preferimos topologías más pequeñas.

3 - Si estás en el PT, un conjunto abierto se identifica básicamente con la colección finita de los conjuntos abiertos que no son todo el espacio. Así que un conjunto abierto en PT es "una colección finita", de ahí que en BT las cosas puedan volverse bastante salvajes.