Demuestra que los números trascendentales existen: ¿Hay formas menos panfletarias de hacerlo?

Question

He encontrado este ejercicio en Boolos Lógica y Computabilidad :

Un número real $x$ se llama algebraica si es una solución a alguna ecuación de la forma

$$c_{\small d}x^{\small d}+c_{\small d-1}x^{\small d-1}+c_{\small d-2}x^{\small d-2}+\text{ }...\text{ }+c_{\small 2}x^{\small 2}+c_{\small 1}x+c_{\small 0}=0$$

Donde el $c_i$ son números racionales y $c_d\neq 0$ . Por ejemplo, para cualquier número racional $r$ el número $r$ es algebraico, ya que es la solución de $x-r=0$ y la raíz cuadrada $\sqrt{r}$ o $r$ es algebraico, ya que es una solución de $x^2-r=0$ .

(b) Un número real que no es algebraico se llama trascendental. Demuestra que los números trascendentales existen.

Este ejercicio es bonito, pero no sé si sé lo suficiente para hacerlo. Pensé que era sencillo de hacer porque se encuentra en un capítulo inicial del libro mencionado, pero al buscarlo en Wikipedia He visto que parece ser difícil hacerlo - Entonces, el hecho de que se encuentre en un capítulo temprano del libro de Boolos podría indicar que tal vez hay una manera simple que se muestra en el libro y no soy consciente de tal manera, ¿es eso?

Utilizaré las etiquetas lógica y computabilidad por el título del libro.

Editar : Ah, se me olvidaba una cosa, no sé si es una buena idea o si es posible, pero ¿hay alguna forma de probarlo fingiendo ¿No sé que tales números existen con antecedente? Supongo que es más fácil si sabes que existen de antemano aunque no sé si es posible hacerlo así.

Answer 1

Es de suponer que sabes que los números reales son incontables. No es difícil demostrar que los números algebraicos son contables. Esto implica inmediatamente su resultado deseado.

Answer 2

Un boceto:

-Muestra que $\mathbb Q$ es contable.

-Muestra que $\mathbb R$ es incontable.

-Demostrar que existe una biyección entre $\mathbb Q[x]$ y el conjunto de todas las secuencias finitas de racionales. El conjunto de todas las secuencias finitas de un conjunto contable es contable, por lo tanto $\mathbb Q[x]$ es contable.

Sugerencia: Inyectar $\mathbb Q$ en $\mathbb Q[x]$ y $\mathbb Q[x]$ en el conjunto descrito anteriormente. Utilice que este conjunto y $\mathbb Q$ tienen el mismo número cardinal y el Teorema de Cantor-Bernstein.

-Demostrar que todo polinomio no nulo tiene a lo sumo un número finito de raíces. Por lo tanto el conjunto de todos los números complejos algebraicos sobre $\mathbb Q$ es una unión contable de conjuntos finitos, por lo tanto es como máximo contable.

-Concluir que existen números no algebraicos, ya que $|\mathbb Q|<|\mathbb R|$

Answer 3

A la vista de la etiqueta de "computabilidad", quizá convenga señalar que todo número real algebraico es computable. Por tanto, una vez que se sabe que hay reales no computables (uno de los hechos básicos de la teoría de la computabilidad), también se sabe que hay reales trascendentales.