Contable suma de medidas es una medida

Question

Probar que si $\mu_1, \mu_2, \dots$ son medidas en un espacio medible y $a_1, a_2, \dots \in [0,\infty)$, $\sum_{n=1}^\infty a_n\mu_n$ es también una medida.

Necesito un poco de ayuda, justificando la tercera igualdad en la línea final de mi prueba. Mi idea era romper esta en finito y lo infinito de los casos y los hechos acerca de la convergencia absoluta, pero no estoy seguro de los detalles.

Mi solución:

En primer lugar, nos vamos a $(X, \mu_n, \mathcal A)$ ser una medida de espacio para todos los $n\in \mathbb N$ y definen $\nu_n = a_n\mu_n$. Desde $\nu_n(\emptyset) = a_n\mu_n(\emptyset) = a_n\cdot0=0$ $$\nu_n(\cup_{i=1}^\infty A_i) = a_n\mu_n(\cup_{i=1}^\infty A_i) = a_n\sum_{i=1}^\infty \mu_n(A_i) = \sum_{i=1}^\infty a_n\mu_n(A_i) = \sum_{i=1}^\infty \nu_n(A_i),$$ sabemos que $\nu_n$ es una medida para todos los $n\in \mathbb N$. Así que se reducen para el caso de que un contable suma de medidas es de nuevo una medida.

Deje $\mu = \sum_{n=1}^\infty \nu_n$. Desde $\nu_n(\emptyset) = 0$ todos los $n \in \mathbb N$,$\mu(\emptyset) = \sum_{n=1}^\infty \nu_n(\emptyset) = 0$. Así, nos muestran que la $\mu$ es countably aditivo. Es decir, si $A_i\in \mathcal A$ todos los $i \in \mathbb N$ son pares distintos, mostramos $\mu(\cup_{i=1}^\infty A_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)$. A continuación, $$\begin{align*} \mu(\cup_{i=1}^\infty A_i) &= \sum_{n=1}^\infty \nu_n(\cup_{i=1}^\infty A_i) =\sum_{n=1}^\infty\sum_{i=1}^\infty \nu_n(A_i) = \sum_{i=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty \nu_n(A_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i). \\ \end{align*}$$

Answer 1

Convergencia no absoluto, la suma puede ser infinita. Pero todos los términos son no negativos, por lo tanto, podemos cambiar el orden de adición. Conexión con el tema, podemos apelar al teorema de convergencia monótona para la medida de recuento en $\mathbb{N}$ para la justificación.