Probar que si $\mu_1, \mu_2, \dots$ son medidas en un espacio medible y $a_1, a_2, \dots \in [0,\infty)$, $\sum_{n=1}^\infty a_n\mu_n$ es también una medida.
Necesito un poco de ayuda, justificando la tercera igualdad en la línea final de mi prueba. Mi idea era romper esta en finito y lo infinito de los casos y los hechos acerca de la convergencia absoluta, pero no estoy seguro de los detalles.
Mi solución:
En primer lugar, nos vamos a $(X, \mu_n, \mathcal A)$ ser una medida de espacio para todos los $n\in \mathbb N$ y definen $\nu_n = a_n\mu_n$. Desde $\nu_n(\emptyset) = a_n\mu_n(\emptyset) = a_n\cdot0=0$ $$\nu_n(\cup_{i=1}^\infty A_i) = a_n\mu_n(\cup_{i=1}^\infty A_i) = a_n\sum_{i=1}^\infty \mu_n(A_i) = \sum_{i=1}^\infty a_n\mu_n(A_i) = \sum_{i=1}^\infty \nu_n(A_i),$$ sabemos que $\nu_n$ es una medida para todos los $n\in \mathbb N$. Así que se reducen para el caso de que un contable suma de medidas es de nuevo una medida.
Deje $\mu = \sum_{n=1}^\infty \nu_n$. Desde $\nu_n(\emptyset) = 0$ todos los $n \in \mathbb N$,$\mu(\emptyset) = \sum_{n=1}^\infty \nu_n(\emptyset) = 0$. Así, nos muestran que la $\mu$ es countably aditivo. Es decir, si $A_i\in \mathcal A$ todos los $i \in \mathbb N$ son pares distintos, mostramos $\mu(\cup_{i=1}^\infty A_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i)$. A continuación, \begin{align*} \mu(\cup_{i=1}^\infty A_i) &= \sum_{n=1}^\infty \nu_n(\cup_{i=1}^\infty A_i) =\sum_{n=1}^\infty\sum_{i=1}^\infty \nu_n(A_i) = \sum_{i=1}^\infty\sum_{n=1}^\infty \nu_n(A_i) = \sum_{i=1}^\infty \mu(A_i). \\ \end{align*}
