Potencias de 13 expresable como suma de cuadrados

Question

Muestran que
$$13^k=a^2+b^2,k\in \mathbb{N}$ $ tiene una única solución $(a,b)$ donde $a,b\in \mathbb{N^{+}}，gcd(a,b)=1$.

Por ejemplo, $$13=2^2+3^2$ $ $$13^2=169=5^2+12^2$ $

Creo que esto es muy interesante problema. Gracias a todo el mundo.

Answer 1

El número de soluciones de $13^{k} = a^{2} + b^{2}$ está dado por el "número de divisores de a $13^{k}$ de la forma $4n + 1$" menos que "el número de divisores de a $13^{k}$ de la forma $4n + 3$" y luego se multiplica por $4$. Claramente $13^{k}$ sólo ha $k + 1$ divisores de la forma $4n + 1$ y sin divisores de la forma $4n + 3$, se deduce que hay $4(k + 1)$ soluciones de la ecuación de $13^{k} = a^{2} + b^{2}$. Ignorando los signos de que este se convierta $k + 1$. Tenga en cuenta que nos están haciendo caso omiso de las señales, sino el recuento $(a, b)$ $(b, a)$ dos soluciones, por lo que la conmutación no es ignorado. Así que para la pregunta, la única solución no está garantizado, pero al menos una solución.

Answer 2

Los hechos conocidos:

1. $13$ es un primo de la forma $4k+1$.
2. Para cada prime $p$ de la de $4k+1$, existen enteros $1 \le x < y < p$ tal que $p = x^2 + y^2$. En particular, $13 = 2^2 + 3^2 = (2+3i)(2-3i)$.

3. $\mathbb{Z}[i] = \{\;x + i y : x, y \in \mathbb{Z}\;\}$, el conjunto de Guassian enteros es una única factorización de dominiocon unidades $\pm 1, \pm i$ y tres tipo de números primos:

   1. $1+i\quad$ ( $1-i$ es equivalente a $1+i$ a través de una unidad ).
   2. $x+iy, x-iy\quad$ donde $x^2 + y^2 = p$ es un primo de la forma $4k+1$.
      El $x \pm iy$ son no equivalentes a más de $\mathbb{Z}[i]$.
   3. $p$ un primo de la forma $4k+3$.

Desde $13 = (2+3i)(2-3i)$, en la representación de $13^k$ como una suma de cuadrados:

$$13^k = a^2 + b^2 = (a+bi)(a-bi)\tag{*1}$$ la única factorización de la propiedad de $\mathbb{Z}[i]$ fuerzas de $a + ib$ tiene la forma:

$$a + bi = i^e (2 + 3i)^f (2-3i)^{k-f}\tag{*2}$$

donde$0 \le e < 4$$0 \le f \le k$.

Si $0 < f < k$, el R. H. S de $(*2)$ contiene un factor de $(2+3i)(2-3i) = 13$. Esto hará $\gcd(a,b) > 1$ (o $a,b$ desaparecen). Esto significa que si uno quiere una solución de $(*1)$ con $\gcd(a,b) = 1$, $f$ sólo puede ser $0$ o $k$.

Aviso de la $f = 0$ de los casos puede ser obtenido a partir de una $f = k$ causa por la toma del complejo de la conjugación. Por otra parte, la multiplicación de $i^e$ cambios de los signos de $a,b$ o el intercambio entre ellos.

Como resultado, hasta el volteo de los signos y/o exchaning $a$$b$, la única solución de $(*1)$ $\gcd(a,b) = 1$ está dada por (como se señalaba en otro cartel):

$$a + i b = (2+3i)^k$$