Integrales de funciones ortogonales

Question

Supongamos que tenemos una base ortogonal $\{e_k\}_{k \in \mathbb{N}}$ para $L^2[0,1]$ . Realice las funciones \begin{align*} u_k(t) := \int_t^1e_k(s)\text{d} s,\quad k \in \mathbb{N}, \end{align*} también satisfacen \begin{align*} \int_0^1u_i(s)u_j(s)\text{d} s = 0, \quad i \neq j? \end{align*} Esto es válido para las funciones $\{\sqrt{2}\sin{(k - 1/2)\pi t}\}_{k \in \mathbb{N}}$ por ejemplo, y también parece ser cierto para los polinomios de Legendre desplazados. Si no es cierto en general, tengo curiosidad por saber en qué condiciones podría ser cierto.

Answer 1

Sea $e_k(s) = e^{2 \pi i k s}$ . Entonces la fórmula anterior da $u_0(t)=1-t$ , $u_1(t) = {1 \over 2 \pi i} (1-e^{2 \pi i s})$ , y $\int_0^1 u_0(s) u_1(s) ds = -{1+i\pi \over 4 \pi^2}$ .