¿Por qué hace ' que permite y mover más ' cambiar el valor de esta integral?

Question

Considere la integral: $$ \int_{-1}^1\int_{|y|}^1(x+y)^2dxdy $$

El dominio de integración es el triángulo descrito por $|y|\leq x\leq 1$.

He dibujado este dominio de integración y pensé que si en vez de dejar a $-1\leq y \leq 1$, he conectado $-100 \leq y \leq 100$, me gustaría obtener el mismo resultado, como el de la figura dibujada en el plano es el mismo.

Pero este no es el caso. ¿Por qué sucede esto?

También, lo que es una manera fácil de calcular? Me acaba de ampliar la plaza y separados de las integrales sobre los intervalos de $y<0, y\geq 0$, pero yo quería una manera más elegante.

Answer 1

Al calcular $$ \int_{-2}^{2} \int_{|y|}^{1} f(x, y)\, dx\, dy $$ formalmente, integrar sobre la totalidad de la región sombreada en el diagrama, no sólo la parte más oscura de la sombra de la región. (En el más ligero de los triángulos, $1 \leq |y|$, por lo que los límites en el interior de la integral son de un mayor número a un número menor. La integración de $-100$ $100$tiene un efecto similar.)

Respecto a su segunda pregunta, si desea cambiar el orden de integración, el original de la integral se convierte en un "estándar" integral $$ \int_{-1}^{1} \int_{|y|}^{1} f(x, y)\, dx\, dy = \int_{0}^{1} \int_{-x}^{x} f(x, y)\, y\, dx. $$

Alternativamente, usted puede integrar el uso de la antiderivada fórmulas (con $k \geq 0$ un entero) $$ \int |y|^{2k}\, dy = \int y^{2k}\, dy = \frac{y^{2k+1}}{2k+1},\qquad \int |y|^{2k+1}\, dy = \int y^{2k}|y|\, dy = \frac{y^{2k+1}|y|}{2k+2}. $$