Encontrar el número de soluciones de $x^4-x\sin(\pi x) - \cos^3(\pi x)=0$

Question

Estamos obligados a encontrar el número de soluciones en $\mathbb{R}$ de la ecuación

$$x^4-x\sin(\pi x) - \cos^3(\pi x)=0 \tag{1}$$

Este es un problema sobre el comportamiento de las funciones y es probable que con base en algunas propiedades relevantes de los derivados de la ecuación de arriba. En particular, la búsqueda de soluciones de forma explícita está descartado.

Me hizo las siguientes observaciones:

• El lado izquierdo de $(1)$ es hasta y desde $x=0$ no es una solución sólo un número de soluciones existen.
• El LHS implica una $x^4$ plazo, y así, después de una lo suficientemente grande $x$, $x^4$ término domina y no existen soluciones. No es difícil demostrar que no existen soluciones para $x>2$.

Answer 1

(Queriendo resolver un post sobre la integración en el que fue eliminado por el proponente, se encuentra con este problema que no ha recibido respuesta todavía. Tengo la intención de resolverlo y seguir el primer comentario de Dr Sonnhard Grauner).

Observe que $f (x)= x^4-x\sin(\pi x) - \cos^3(\pi x)$ es aún así tratamos con los valores de $x\ge 0$ solamente. Claramente $ x\sin(\pi x)\le x$; descubrimos $ x\sin(\pi x)= x$ para los valores de $x=\frac{1+4k}{2}\pi$ y tenga en cuenta que para esto los valores de $\cos(\pi x)=0$ por lo tanto $f(x)\ge x^4-x\gt 1$$x\gt 1$; por otra parte $f(0)=-2$. En consecuencia, $$f(x)=0\iff 0\lt x\lt 1\text{ for $x$ positive}$$ Tomando la derivada $$f'(x)=4x^3-\sin(\pi x)-\pi x\cos(\pi x)+3\pi\cos^2(\pi x)\sin(\pi x)$$ we look at some approximation to a root of $f'(x)=0$. One has $$f'(0.38)\approx 0.12744775\gt 0\text{ and }f(0.38)\approx -0.38235035\\f'(0.40)\approx -0.18339251\lt 0\text{ and } f(0.40)\approx -038433110$$ Por lo tanto $$f'(x_1)=0 \text { for } 0.38\lt x_1\lt 0.40$$ Taking the value $x_1=0.39=\frac{0.38+0.40}{2}$ we get $$f'(0.39)\approx -0.03720276 \text{ and } f(0.39)\approx -0.38267702$$ Señalar ahora que la función $f$ tiene sólo dos oscilaciones por $x\in [0,1]$ se puede deducir que la derivada en $x_1\approx 0.39$ enfoques $0$ dando un máximo local lo suficientemente cerca como para $-0.38267702$ (es decir, distinta de $0$) y el valor de las otras para que la derivada es igual a $0$ corresponde a un mínimo de $f(x)$ (por lo menos que el anterior).

Esto garantiza que no hay una sola raíz real $x_0\in [0,1]$. Tenemos $$f(0.7551)\approx -0.00055994\lt 0\\f(0.7553)\approx 0.00049442\gt 0$$ Thus we can take as a good approximation $$\color{red}{x_0\approx 0.7552}$$ Finalmente el único real son las raíces $\pm 0.7552$