¿Cuándo un espacio de Banach es un espacio de Hilbert?

Question

Dejemos que $\mathcal{X}$ sea un espacio de Banach real o complejo. Es un hecho bien conocido que $\mathcal{X}$ es un espacio de Hilbert (es decir, la norma proviene de un producto interno) si se cumple la identidad del paralelogramo.

Pregunta: ¿Existen otras caracterizaciones (simples) para que un espacio de Banach sea un espacio de Hilbert?

Answer 1

De este artículo por O. N. Kosukhin:

Un verdadero espacio de Banach $(X, \|\cdot\|)$ es un espacio de Hilbert si y sólo si para cualesquiera tres puntos $A$ , $B$ , $C$ de este espacio que no pertenece a una línea hay tres altitudes en el triángulo $ABC$ que se cruzan en un punto.

Al buscar en Google, aparecen muchas otras referencias

"es un espacio hilbert si" banach

Answer 2

Bessaga y Pelczynski escribieron un estudio sobre los espacios de Banach. El capítulo 4 está dedicado a esta cuestión.

http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/or/or2/or214.pdf

Answer 3

Hay más caracterizaciones en el libro de Haim Brezis (Analyse fonctionnelle), en el apéndice del capítulo 5. Copiaré dos de ellas a continuación, junto con las referencias:

1. Si $\dim(E)\geq 2$ y cada subespacio $X\subset E$ de dimensión $2$ es la imagen de un proyector acotado $P$ tal que $\|P\| = 1$ entonces $E$ es isométrica con respecto a un espacio de Hilbert (Kakutani, Revista japonesa de matemáticas , 1939);
2. si $\dim(E)\geq 3$ y el mapa $T$ definida como la identidad en la bola unitaria y como $u/\|u\|$ cuando $\|u\|\geq 1$ es lipschitziano con constante $1$ entonces $E$ es isométrico a un espacio de Hilbert (de Figueiredo; Karlovitz, Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 1967).

Además, si $E$ es isomorfo a todos sus subespacios de dimensión infinita, entonces es isomorfo a un espacio de Hilbert separable (Gowers, Anales de Matemáticas , 2002).

Answer 4

Sólo dos caracterizaciones isométricas/isomórficas:

Un espacio de Banach $X$ es [isométrico a] un Hilbert si y sólo si existe un espacio de Banach $Y$ y una simétrica bilineal simétrica $f:X\times X\rightarrow Y$ satisfaciendo

$||f(x,z)||$ $=$ $||x||\cdot||z|$ | para todos $x,z$ $\in$ $X$ .

[J. Becerra Guerrero & A. Rodríguez-Palacios]

Un espacio de Banach es [isomorfo a] un espacio de Hilbert si es uniformemente homeomorfo a un espacio de Hilbert. [Por Enflo]

Answer 5

En esta simple nota http://arxiv.org/abs/0907.1813 (que aparecerá en Colloq. Math.), Rossi y yo demostramos una caracterización en términos de "inversión del teorema de representación de Riesz".

Este es el resultado: dejemos $X$ sea un espacio normado y recordemos la ortogonalidad de Birkhoff-James: $x\in X$ es ortogonal a $y\in X$ si para todos los escalares $\lambda$ , uno tiene $||x||\leq||x+\lambda y||$ .

Dejemos que $H$ sea un espacio de Hilbert y $x\rightarrow f_x$ sea la representación de Riesz. Obsérvese que $x\in Ker(f_x)^\perp$ que se puede exigir utilizando la ortogonalidad de Birkhoff-James:

Teorema: Dejemos que $X$ sea un espacio normado (resp. Banach) y $x\rightarrow f_x$ sea una cartografía isométrica de $X$ a $X^*$ tal que

1) $f_x(y)=\overline{f_y(x)}$

2) $x\in Ker(f_x)^\perp$ (en el sentido de Birkhoff y James)

Entonces $X$ es un espacio pre-Hilbert (resp. Hilbert) y el mapeo $x\rightarrow f_x$ es la representación de Riesz.