La respuesta a la primera pregunta es no, incluso en el caso de n=1:
La función característica de la mitad el intervalo de abrir [0,1) es de la derecha continua, pero ni superior ni inferior semicontinuo.
Una correcta función continua R→R es de hecho Borel medible. Por definición, la inversa de la imagen E de un conjunto abierto tiene la propiedad de que para cualquier x∈E, hay algunos δ>0, de modo que [x‚x+\delta)\subseteq E. De ello se desprende que E es una contables de la unión de la mitad de abrir los intervalos, y por lo tanto es Borel medible. No estoy seguro acerca de la respuesta a este al n>1 (el contable de la unión argumento no tiene), pero mi conjetura es que el derecho de funciones continuas son todavía medibles.
Caracterización topológica: Si escribimos \le para pointwise comparación en \mathbb{R}^n, se puede hacer en un solo lado de la topología mediante la declaración de un conjunto V\subseteq\mathbb{R}^n a ser abierto si para cada a x\in V, hay algunos \delta>0, de modo que \{y\ge x\colon\lvert y-x\rvert<\delta\}\subseteq V. A continuación, el derecho continuo de los mapas de \mathbb{R}^n\to\mathbb{R} son solo los que son continuos desde esta topología la topología usual en \mathbb{R}.
No estoy demasiado seguro en el CDF pregunta. (Supongo CDF representa la función de distribución acumulativa, en el sentido de F(x)=\mathrm{P}\{X\le x\} donde X es un random n-vector). Podría ayudar a que F es no sólo el derecho, continua, pero también monótono. Así que el conjunto \{x\colon F(x)\le p\} tiene una particular estructura simple; me imagino que debe ser medible, pero ahora no veo una prueba.