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¿Son funciones continuas derecho medible?

Son derecho-función continua de Rn Rnecesariamente semi-continua? Si no, son necesariamente Borel medible? Hay una caracterización topológica de derecho-funciones continuas (como no es de continuo)? Son CDFs de n-dimensiones azar vectores mensurable?

Nota: Una función de f:RnR es de derecha continua el fib se haga continua en cada punto de xRn. Una función de f:RnR es de derecha continua en xRn fib dado cualquier secuencia infinita de puntos en Rn (y0,y1,) que converge a x desde arriba (es decir, la secuencia converge a x en la costumbre, la Euclídea sentido y, además, cada elemento de la secuencia es mayor que o igual a x componente inteligente), la secuencia de (f(y0),f(y1),) converge a f(x) en el sentido usual de la palabra.

6voto

Harald Hanche-Olsen Puntos 22964

La respuesta a la primera pregunta es no, incluso en el caso de n=1: La función característica de la mitad el intervalo de abrir [0,1) es de la derecha continua, pero ni superior ni inferior semicontinuo.

Una correcta función continua RR es de hecho Borel medible. Por definición, la inversa de la imagen E de un conjunto abierto tiene la propiedad de que para cualquier xE, hay algunos δ>0, de modo que [x‚x+\delta)\subseteq E. De ello se desprende que E es una contables de la unión de la mitad de abrir los intervalos, y por lo tanto es Borel medible. No estoy seguro acerca de la respuesta a este al n>1 (el contable de la unión argumento no tiene), pero mi conjetura es que el derecho de funciones continuas son todavía medibles.

Caracterización topológica: Si escribimos \le para pointwise comparación en \mathbb{R}^n, se puede hacer en un solo lado de la topología mediante la declaración de un conjunto V\subseteq\mathbb{R}^n a ser abierto si para cada a x\in V, hay algunos \delta>0, de modo que \{y\ge x\colon\lvert y-x\rvert<\delta\}\subseteq V. A continuación, el derecho continuo de los mapas de \mathbb{R}^n\to\mathbb{R} son solo los que son continuos desde esta topología la topología usual en \mathbb{R}.

No estoy demasiado seguro en el CDF pregunta. (Supongo CDF representa la función de distribución acumulativa, en el sentido de F(x)=\mathrm{P}\{X\le x\} donde X es un random n-vector). Podría ayudar a que F es no sólo el derecho, continua, pero también monótono. Así que el conjunto \{x\colon F(x)\le p\} tiene una particular estructura simple; me imagino que debe ser medible, pero ahora no veo una prueba.

5voto

Marc M Puntos 321

Aquí está una prueba de que cualquier función F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} que es derecha continua es Borel medible.

Definir F_n(x) = F\left(\frac{[nx]+1}{n}\right), donde [x] es el mayor entero menor que x. Claramente F_n son medibles ya que son las funciones de paso.

De la correcta continuidad de F obtenemos que F_n\to F, desde \frac{[nx]+1}{n} \downarrow x.

Por lo tanto, desde F es el límite del pointwise de funciones medibles, también es medible.

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