¿Son funciones continuas derecho medible?

Question

Son derecho-función continua de $\mathbb{R}^n$ $\mathbb{R}$necesariamente semi-continua? Si no, son necesariamente Borel medible? Hay una caracterización topológica de derecho-funciones continuas (como no es de continuo)? Son CDFs de $n$-dimensiones azar vectores mensurable?

Nota: Una función de $f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ es de derecha continua el fib se haga continua en cada punto de $x \in \mathbb{R}^n$. Una función de $f: \mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}$ es de derecha continua en $x \in \mathbb{R}^n$ fib dado cualquier secuencia infinita de puntos en $\mathbb{R}^n$ $(y_0,y_1,\dots)$ que converge a $x$ desde arriba (es decir, la secuencia converge a $x$ en la costumbre, la Euclídea sentido y, además, cada elemento de la secuencia es mayor que o igual a $x$ componente inteligente), la secuencia de $(f(y_0), f(y_1), \dots)$ converge a $f(x)$ en el sentido usual de la palabra.

Answer 1

La respuesta a la primera pregunta es no, incluso en el caso de $n=1$: La función característica de la mitad el intervalo de abrir $[0,1)$ es de la derecha continua, pero ni superior ni inferior semicontinuo.

Una correcta función continua $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ es de hecho Borel medible. Por definición, la inversa de la imagen $E$ de un conjunto abierto tiene la propiedad de que para cualquier $x\in E$, hay algunos $\delta>0$, de modo que $[x‚x+\delta)\subseteq E$. De ello se desprende que $E$ es una contables de la unión de la mitad de abrir los intervalos, y por lo tanto es Borel medible. No estoy seguro acerca de la respuesta a este al $n>1$ (el contable de la unión argumento no tiene), pero mi conjetura es que el derecho de funciones continuas son todavía medibles.

Caracterización topológica: Si escribimos $\le$ para pointwise comparación en $\mathbb{R}^n$, se puede hacer en un solo lado de la topología mediante la declaración de un conjunto $V\subseteq\mathbb{R}^n$ a ser abierto si para cada a $x\in V$, hay algunos $\delta>0$, de modo que $\{y\ge x\colon\lvert y-x\rvert<\delta\}\subseteq V$. A continuación, el derecho continuo de los mapas de $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ son solo los que son continuos desde esta topología la topología usual en $\mathbb{R}$.

No estoy demasiado seguro en el CDF pregunta. (Supongo CDF representa la función de distribución acumulativa, en el sentido de $F(x)=\mathrm{P}\{X\le x\}$ donde $X$ es un random $n$-vector). Podría ayudar a que $F$ es no sólo el derecho, continua, pero también monótono. Así que el conjunto $\{x\colon F(x)\le p\}$ tiene una particular estructura simple; me imagino que debe ser medible, pero ahora no veo una prueba.

Answer 2

Aquí está una prueba de que cualquier función $F: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ que es derecha continua es Borel medible.

Definir $F_n(x) = F\left(\frac{[nx]+1}{n}\right)$, donde $[x]$ es el mayor entero menor que $x$. Claramente $F_n$ son medibles ya que son las funciones de paso.

De la correcta continuidad de $F$ obtenemos que $F_n\to F$, desde $\frac{[nx]+1}{n} \downarrow x$.

Por lo tanto, desde $F$ es el límite del pointwise de funciones medibles, también es medible.