Clasificación de los principales ideales de $ \mathbb {Z}[X]/(f(X))$

Question

Deje que $ \mathbb {Z}[X]$ ser el anillo de polinomios en una variable. Dejemos que $f(X) \in \mathbb {Z}[X]$ ser un polinomio monico irreductible. Que $A = \mathbb {Z}[X]/(f(X))$ . Deje que $ \theta $ = $X$ (mod $f(X)$ ).

Mi pregunta: ¿Es correcta la siguiente proposición? Si es así, ¿cómo lo probaría?

Propuesta Deje que $P$ ser un ideal primario no cero de $A$ . Entonces las siguientes afirmaciones se mantienen.

(1) $P$ contiene un número primo $p$ .

2) Se produce uno de los dos casos siguientes.

a. Si $f(X)$ es irreducible mod $p$ Entonces $P = (p)$ .

b. Si $f(X)$ no es irreducible mod $p$ Entonces $P = (p, g( \theta ))$ donde $g(X)$ es un factor irreducible de $f(X)$ mod $p$ .

(3) $P$ es un ideal máximo y $A/P$ es un campo finito de características $p$ .

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Answer 1

Demostrémoslo con $P$ el correspondiente ideal de $ \mathbb {Z}[X]$ también. Contendrá polinomios que no son múltiplos de $f(X)$ . Deje que $g(X)$ ser uno de ellos. Porque $f(X)$ es irreducible, el mayor divisor común (en el dominio euclidiano $ \mathbb {Q}[X]$ ) debe ser igual a 1. Por la identidad de Bezout existen polinomios $u(X),v(X) \in \mathbb {Q}[X]$ de tal manera que $$ u(X)f(X)+v(X)g(X)=1. $$ Multiplicando esto por el múltiplo menos común $m$ de los denominadores de los coeficientes de $u(X)$ y $v(X)$ vemos que existen polinomios $U(X)=mu(X),V(X)=mv(X) \in \mathbb {Z}[X]$ de tal manera que $$ m=U(x)f(X)+V(X)g(X) \in P. $$ Así que el ideal $P$ contiene constantes de números enteros distintos de cero. Porque $P$ es un ideal primordial, la intersección $P \cap\mathbb {Z}$ es también un ideal primo (no cero), y por lo tanto contiene un número primo $p$ . Porque $P$ no es trivial, $p$ es el único número primo en $P$ . La parte (1) está resuelta.

De (1) deducimos que el anillo de cociente $A/P$ es finito. Como $A$ es un dominio integral, y $P$ es un ideal primordial, el anillo $A/P$ es también un dominio integral. Un dominio integral finito es siempre un campo, así que (3) está probado.

Claramente $A/P$ se genera (como un anillo) por $ \theta $ . Así que $A/P= \mathbb {F}_p[ \theta ]$ donde vuelvo a abusar de la notación y denotar $X+P$ también con $ \theta $ . Deje que $g(X) \in\mathbb {F}_p[X]$ ser el polinomio mínimo de $ \theta $ sobre el campo principal. Obviamente $g(X) \mid \overline {f}(X)$ donde $ \overline {f}(X)$ significa la reducción de $f(X)$ modulo $p$ . La afirmación (2) se desprende de esto con relativa facilidad.

Answer 2

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Básicamente y en resumidas cuentas, un ideal máximo en $\, \Bbb Z[x]\,$ es de la forma $\,(p,f(x))\,$ con $\,p\,$ un número primo y $\,f(x)\,$ un polinomio irreducible cuando se reduce el módulo $\,p\,$ es decir. en $\, \left ( \Bbb Z/p \Bbb Z \right )[x]\,$