Subconjuntos de $[0,1]$

Question

Supongamos que tenemos un subconjunto cerrado $A\subset[0,1]$ que no es igual a $[0,1]$. ¿Es posible que $mA=1$? Supongamos que tenemos un subconjunto abierto $B\subset[0,1]$ que es denso en $[0,1]$. ¿Es posible que $mB<1$? Donde $mA$ es la medida de Lebesgue de algún conjunto $A$ de números reales.

He pasado las últimas 4 horas pensando en cuáles son las posibilidades aquí. ¡Racionales e irracionales y conjuntos de Cantor, oh cielos! La verdad sea dicha, me encantaría tener una sensación intuitiva de la estructura compleja de todos los números reales en $[0,1]$, pero al parecer, siento que no estoy más cerca de este objetivo que cuando empecé a estudiarlo hace un par de años.

Cuando veo estos problemas de conjuntos medibles, siempre intento construir ejemplos en mi cabeza o hacer algunos bosquejos en un esfuerzo por intuir lo que está sucediendo, pero a menudo me encuentro con la muralla de ladrillos que es la complejidad real de los números. ¿Alguien tiene alguna sugerencia sobre cómo desarrollar intuición en este caso?

Answer 1

La primera opción no es posible: Note que si $A$ es un subconjunto cerrado de $[0,1]$, $A$ también es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}$. Entonces $A^c$ contiene un intervalo dentro de $[0,1]$, y los intervalos abiertos siempre tienen medida positiva. Por lo tanto

$$1 = mA + mA^c > mA$$

Para la segunda pregunta, hay subconjuntos abiertos densos de $[0,1]$ con medida arbitrariamente pequeña: Coloque un intervalo de longitud $2^{-n} \epsilon$ alrededor del $n$-ésimo número racional en $[0,1]$ según su enumeración favorita. (Colocar intervalos alrededor de un subconjunto denso y numerable es a veces un truco útil).

Answer 2

1. No podemos tener $m(A)=1$, ya que $m(A)=1-m(A^c)$ y $A^c$ es un conjunto abierto no vacío, por lo tanto contiene algún intervalo abierto $(a,b)$, por lo que $m(A^c)\geq b-a$.

2. Sí. Considera el conjunto $$ A=[0,1]\cap \bigcup\limits_{n=1}^\infty(q_n-\epsilon2^{-n},q_n+\epsilon2^{-n})$$ donde $(q_n)$ es una enumeración de los racionales en $[0,1]$, que es abierto y denso ya que contiene los racionales, pero tiene una medida de a lo sumo $\epsilon$.