Dominio integral con dos elementos que no tienen un gcd

Question

Tengo el siguiente ejemplo de un integrante del dominio con dos elementos que no tienen un mcd de wikipedia:

$R = \mathbb{Z}\left[\sqrt{-3}\,\,\right],\quad a = 4 = 2\cdot 2 = \left(1+\sqrt{-3}\,\,\right)\left(1-\sqrt{-3}\,\,\right),\quad b = \left(1+\sqrt{-3}\,\,\right)\cdot 2.$

Los elementos $2$ $1 + \sqrt{−3}$ son dos de los "máximos comunes divisores" (es decir, cualquier divisor común que es un múltiplo de a $2$ está asociado a $2$, la misma que tiene por $1 + \sqrt{−3}$), pero que no están asociados, por lo que no hay máximo común divisor de a y b.

Yo lo entiendo, pero ¿cómo puedo probar o estrictamente explicar que $2$ $1 + \sqrt{−3}$ son dos de los "máximos comunes divisores" y que no están asociados?

Answer 1

Un simple pero de manera general para deducir que esta dpc no existe es por la falta de Euclides del Lexema.

LEMA $\rm\ \ (a,b)\ =\ (ac,bc)/c\quad$ si $\rm\ (ac,bc)\ $ existe $\rm\quad$ (GCD distributiva de la ley )

Prueba de $\rm\quad d\ |\ a,b\ \iff\ dc\ |\ ac,bc\ \iff\ dc\ |\ (ac,bc)\ \iff\ d|(ac,bc)/c$

Pero en general $\rm\ (ac,bc)\ $ no existe, como es más perspicaz visto como el fracaso de

EUCLIDES DEL LEXEMA $\rm\quad a\ |\ bc\ $ $\rm\ (a,b)=1\ \Rightarrow\ a\ |\ c\quad$ si $\rm\ (ac,bc)\ $ existe.

Prueba de $\ \ $ Si $\rm\ (ac,bc)\ $ existe $\rm\ a\ |\ ac,bc\ \Rightarrow\ a\ |\ (ac,bc) = (a,b)\:c = c\ $ por el Lema.

Por lo tanto, si $\rm\: a,b,c\: $ dejar de cumplir con el Lema de Euclides $\Rightarrow\:$, es decir, si $\rm\ a\ |\ bc\ $ $\rm\ (a,b) = 1\ $ pero $\rm\ a\nmid c\:$, luego, enseguida se deduce que el mcd $\rm\ (ac,bc)\ $ no existe.$\:$ Para el caso especial en que $\rm\:a\:$ es un átomo (es decir, irreductible), la implicación se reduce a: atom $\Rightarrow$ prime. Así que basta encontrar un átomo nonprime con el fin de exponer un par de elementos cuya gcd no existe. Esta tarea es un poco más simple, por ejemplo, para $\rm\ \omega = 1 + \sqrt{-3}\ \in\ \mathbb Z[\sqrt{-3}]\ $ tenemos que el átomo de $\rm\: 2\ |\ \omega'\: \omega = 4\:,\:$ pero $\rm\ 2\nmid \omega',\:\omega\:,\:$ $\rm\:2\:$ no es primo. Por lo tanto, su mcd $\rm\: (2\:\omega,\ \omega'\:\omega)\ =\ (2+2\sqrt{-3},\:4)\ $ no existen en $\rm\ \mathbb Z[\sqrt{-3}]\:$.

Tenga en cuenta que si el mcd $\rm\: (ac,bc)\ $ no existe, entonces esto implica que el ideal de $\rm\ (ac,bc)\ $ no es principal. Por lo tanto hemos constructivamente deduce que el fracaso de Euclides del lema de inmediato, los rendimientos de un inexistente mcd y un nonprincipal ideal.

Que el $\Rightarrow$ en Euclid del lema implica que los Átomos son Primos $\rm(:= AP)$ es denotado $\rm\ D\ \Rightarrow AP\ $ en la lista de dominios estrechamente relacionado con MCD dominios en mi post aquí. Allí encontrará enlaces para más literatura sobre dominios estrechamente relacionado con MCD dominios. Véase, en particular, la referencia completa de la encuesta por D. D. Anderson: MCD dominios, Gauss lema, y el contenido de los polinomios, 2000.

Véase también mi post aquí para el general universal definiciones de $\rm GCD,\: LCM$ y para más información sobre cómo ese $\iff$ definiciones de habilitar la mancha de pruebas, y ver aquí otro ejemplo sencillo de.