En cuanto al método general de la "Clasificación de grupos de orden" $X$ "Pregunta".

Question

Cualquiera que haya tenido que prepararse para un examen de calificación de álgebra está familiarizado con la "Clasificación de grupos de orden". $X$ "Pregunta".

Para ilustrar mi pregunta general, que pospongo hasta el final, considere el siguiente ejemplo simple en el que clasifico los grupos $G$ de orden $3 \cdot 7$ . Deje que $H$ y $K$ ser el $7$ - y $3$ -Subgrupos de Sylow, respectivamente. Por los teoremas de Sylow, encontramos fácilmente que $H$ es normal y $K$ es normal o una de siete copias conjugadas. También $H \cong \mathbf {Z}_7$ y $K \cong \mathbf {Z}_3$ . Deje que $x$ ser un generador de $\mathbf {Z}_3$ y dejar $y$ ser un generador de $\mathbf {Z}_7$ ambos vistos de forma multiplicativa. Ahora $G$ es un producto semidirecto de $H$ y $K$ por lo tanto, las posibles estructuras de $G$ están determinados por los posibles homomorfismos de grupo $$\mathbf {Z}_3 \to \mathrm {Aut}( \mathbf {Z}_7) \cong \mathbf {Z}_6.$$ Tal homomorfismo de grupo está determinado por la imagen de $x$ ya que el orden de esta imagen debe dividir el orden de $x$ vemos $x$ se envía al automorfismo de la identidad $\mathbf {1}$ o un automorfismo de orden tres.

Encontramos que un generador de $\mathbf {Z}_6$ es el automorfismo $\alpha \colon y \mapsto y^3$ . Por lo tanto, hay tres posibles homomorfismos de grupo, determinados por el envío $x$ a $\mathbf {1}$ a $\alpha ^2 \colon y \mapsto y^2$ o a $\alpha ^4 \colon y \mapsto y^4$ . De ello se deduce que hay como máximo tres grupos de orden posibles $21$ generada por $x$ y $y$ y sujeto a las relaciones $x^3 = x^7 = 1$ así como una de las siguientes relaciones de conmutación: $$xy = yx, \;\;\;\;\; xy = y^2 x, \;\;\;\;\; xy = y^4 x.$$ Todos estos grupos existen empleando la construcción abstracta del producto semidirecto.

Lo que sigue es siempre la parte más sutil del análisis.

¿Cuál de estos grupos son duplicados?

El primero es el caso $G \cong \mathbf {Z}_3 \times \mathbf {Z}_7$ que es claramente distinto de los otros dos. Dejemos que el segundo grupo sea denotado $G_2$ y el tercero $G_4$ . Si $G_2$ fueron isomórficos a $G_4$ entonces tendría que existir $X, Y \in G_4$ de las órdenes tres y siete, respectivamente, y satisfaciendo $XY = Y^2 X$ (o $X, Y \in G_2$ satisfactoria $XY = Y^4 X$ ). Y es fácil ver que, de hecho, esta condición es suficiente para $x \mapsto X$ , $y \mapsto Y$ para determinar un isomorfismo $G_2 \cong G_4$ . Tenga en cuenta que ambos $G_2$ y $G_4$ tienen siete $3$ -Subgrupos de Sylow (de lo contrario serían productos cartesianos). Así que hay $14$ candidatos para $X$ y $6$ candidatos para $Y$ .

Moralmente, al menos en mi opinión, estos grupos deberían ser isomórficos, porque la única diferencia en su definición se produce cuando elegimos entre los dos generadores $\alpha ^2$ y $\alpha ^4$ del subgrupo cíclico $\mathbf {Z}_3 \subset \mathrm {Aut}( \mathbf {Z}_7) \cong \mathbf {Z}_6$ y estos generadores son "esencialmente los mismos".

Este es el caso, pero la prueba se siente "afortunada". Uno encuentra por cálculo que ningún mapa de la forma $X = x$ y $Y = y^k$ satisface $XY = Y^2 X \in G_4$ . Pero esto se satisface tomando $X = x^2$ y $Y = y$ : $$X Y = x^2 y = x y^4 x = y^{16} x^2 = y^2 x^2 = Y^2 X \in G_4.$$ Concluimos que hay dos grupos de orden $21$ hasta el isomorfismo.

Para dar un ejemplo de cómo este problema se vuelve más complejo, si en lugar de ello se computaran grupos de orden $3 \cdot 7 \cdot 13$ entonces uno debe determinar los homomorfismos de grupo $$\mathbf {Z}_3 \to \mathrm {Aut}( \mathbf {Z}_7 \times \mathbf {Z}_{13}) \cong \mathbf {Z}_6 \times \mathbf {Z}_{12}.$$ (¡No olvides que los automorfismos del producto directo es el producto directo de los automorfismos cuando las órdenes de los grupos son coprimidas!) Si $\alpha$ genera $\mathbf {Z}_6$ y $\beta$ genera $\mathbf {Z}_{12}$ entonces hay nueve posibles estructuras semidirectas, que corresponden a $x$ siendo enviado a cualquiera de las siguientes parejas: $$( \mathbf {1}, \mathbf {1}), \;\;\;\;\; ( \alpha ^2, \mathbf {1}), \\ ( \alpha ^4, \mathbf {1}), \;\;\;\;\; ( \mathbf {1}, \beta ^4), \\ ( \mathbf {1}, \beta ^8), \;\;\;\;\; ( \alpha ^2, \beta ^4), \\ ( \alpha ^4, \beta ^4), \;\;\;\;\; ( \alpha ^4, \beta ^8), \;\;\;\;\; ( \alpha ^2, \beta ^8).$$ ¿Cuál de ellos es isomorfo?

Espero que en este punto mi pregunta general sea clara. Primero, en palabras:

Al considerar los productos semidirectos $G \cong H \rtimes K$ ¿hay una prueba (natural?) que muestre la elección de los generadores de $\mathrm {Aut}(H)$ afecta al grupo resultante sólo hasta la elección de generadores "no equivalentes"?

Aquí hay una frase precisa para la que me encantaría recibir una respuesta:

Pregunta: Probar o refutar. Deje que $p$ y $q$ ser primos de tal manera que $q$ divide $p-1$ . Considere los productos semidirectos $G_ \rho = \mathbf {Z}_p \rtimes_\rho \mathbf {Z}_q$ determinado por homomorfismos de grupo $$\rho \colon \mathbf {Z}_q \to \mathrm {Aut}( \mathbf {Z}_p) \cong \mathbf {Z}_{p-1}.$$ Deje que $x$ generar multiplicadamente $\mathbf {Z}_q$ y dejar $\alpha$ generar multiplicadamente $\mathbf {Z}_{p-1}$ . Configuración $n = (p-1)/q$ los generadores para $\mathbf {Z}_q \subset \mathbf {Z}_{p-1}$ son $\alpha ^{nk}$ donde $k = 1, \dots , q-1$ . Deje que $\rho_k$ denotan el homomorfismo de grupo determinado por $x \mapsto \alpha ^{nk}$ . Luego $G_{ \rho_k } \cong G_{ \rho_\ell }$ para todos $1 \leq k, \ell \leq q-1$ .

Answer 1

De Dummit y Foote, capítulo 5, página 184:

Supongamos que $K$ es un grupo cíclico, $H$ es un grupo arbitrario y $\phi_1(K)$ y $\phi_2(K)$ son subgrupos conjugados de $\operatorname{Aut}(H)$ . Si $K$ es inifito asumir $\phi_1$ y $\phi_2$ son inyectivas. Demostrar mediante la construcción de un isomorfismo explícito que $H \rtimes_{\phi_1} K \cong H \rtimes_{\phi_2} K$ (en particular, si los subgrupos $\phi_1(K)$ y $\phi_2(K)$ son iguales en $\operatorname{Aut}(H)$ entonces los productos semidirectos resultantes son isomorfos).

Incluso da una pista. (Recomiendo encarecidamente dedicar un poco de tiempo a intentar hacerlo tú mismo antes de leer la pista: es un auténtico spoiler).

Supongamos que $\sigma \phi_1(K) \sigma^{-1} = \phi_2(K)$ de modo que para algunos $a \in \mathbb{Z}$ tenemos $\sigma \phi_1(k)\sigma^{-1} = \phi_3(k)^a$ para todos $k \in K$ . Demuestre que el mapa $\psi:H \rtimes_{\phi_1} K \to H \rtimes_{\phi_2} K$ definido por $\psi(h,k)=(\sigma(h),k^a)$ es un homomorfismo. Mostrar $\psi$ es biyectiva construyendo una inversa de 2 lados.

En realidad hay un lema que vale la pena conocer aquí:

Lema: Sea $a,m,n \in \mathbb{Z}$ tal que $m$ divide $n$ y $\gcd(a,m)=1$ . Entonces existe $\overline{a} \in \mathbb{Z}$ tal que $\overline{a} \equiv a \mod m$ y $\gcd(\overline{a},n)=1$ .

Hay una explicación completa aquí (aquí es donde aprendí el lema por primera vez), pero te invito a que pidas pistas en lugar de mirar el spoiler o la respuesta.