¿Cuál es el uso del cálculo?

Question

Sé que esto puede parecer una muy amplia la pregunta, pero voy a reducirlo. Realmente quiero saber el propósito de algunas de las cosas que mi profesor es de destacar en mi calc clase.

Por ejemplo, ¿por qué es tan importante saber:

$\frac{d}{dx}\sin\left(x\right)=\cos\left(x\right)$,

$\frac{d}{dx}\left(\sec\left(x\right)\right)=\sec\left(x\right)\tan\left(x\right)$,

o $\lim _{x\to 0}\left(\frac{\sin\left(x\right)}{x}\right)=1$.

Estoy buscando una ventaja para el mundo real o de la aplicación para saber estas cosas. Sí, es bueno ser capaz de demostrar cosas como $\lim\limits _{x\to -\infty \:}\left(\sqrt{4\cdot \:x^2-5\cdot \:x}+2\cdot \:x\right) = \frac{5}{4}$, ¿pero cómo es que todos estos toplics como: Comportamiento del Final,los Límites, la diferencia de cocientes, derivados entran en juego en las aplicaciones del mundo real

Así que, ahora hemos aprendido la diferencia cociente para encontrar el promedio de la tasa de cambio. Hemos aprendido el comportamiento del final, por lo que podemos aprender de lo que ocurre si un parámetro enfoques infinito. Hemos aprendido límites, por lo que podemos trabajar en torno a la computación de los valores en los puntos donde la función no está definida. Ex: Dividir por 0. Ahora estamos aprendiendo derivados de la cual es el límite de un cociente de la diferencia como $h\to 0$.

Pero no hemos tenido ninguna pregunta, sin embargo, que este es utilizado en un problema práctico. Las preguntas que se nos pide en clase son puramente pruebas y cálculos.

Ex: Encontrar $\frac{d}{dx}\left(\frac{d}{dx}\left(\frac{1}{\sqrt{2\pi \:}}e^{-\frac{x^2}{2}}\right)\right)$

Ex:$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 4x^2+1 & \quad x > 2 \\ 17 & \quad x = 2 \\ 16x-15 & \quad x < 2 \end{array} \right. $$

Le pregunté a mi profesor de esta pregunta, y mencionó que el propósito del cálculo es encontrar el mundial y extremos locales, búsqueda de raíces,el cálculo instantáneo de las tasas de cambio, pero en realidad no se ve en muchas aplicaciones del mundo real. Hasta ahora mi Calc clase ha sido demostrar blablabla porque usted tiene las habilidades matemáticas para hacerlo. En las clases como las de álgebra 2 que no acaba de aprender álgebra, pero hemos aprendido muchas prácticos del mundo real de aplicaciones para él. Mi proffessor mencionado Cálculo se utiliza mucho en el mundo real para encontrar el área bajo las curvas y las tasas de cambio. Me puedes dar algunos ejemplos de aplicaciones del mundo real donde me tendría que encontrar el área bajo la curva? O encontrar la tasa instantánea de cambio?

Answer 1

Cuanto más se asciende en matemáticas, al menos la clase se centrará en la vida real. Los profesores de matemáticas dejar que la ciencia y la ingeniería de profesores para enseñar. Esto podría ser relucir algunas de las siguientes razones:

• El cálculo y las matemáticas superiores temas son muy densos, y simplemente no hay tiempo para enseñar a ambos conceptos, métodos y aplicaciones.
• El cálculo y las matemáticas no son "everyday math" para la mayoría de las personas que la utilizan. Por esto, me refiero a que no va a usar el cálculo para averiguar cuánto cambio debería haber recibido de la caja, o el cálculo de la cantidad de fondos de pantalla que usted necesita para comprar. El cálculo se aplica muy a menudo, pero en muy especializada configuración. Si el cálculo de los maestros también enseñó aplicaciones, estas aplicaciones sería inútil para la mayoría de los estudiantes. Dejando estos temas a la ciencia de los profesores, estos temas se enseñan sólo a los estudiantes que van a utilizar. En otras palabras, un físico, un ingeniero y químico de todas cálculo, pero que lo hacen de diferentes maneras.

• Los matemáticos a veces se enorgullecen en cómo desconectado de la aplicación que puede ser. Incluso he escuchado a un matemático decir "Si hay una aplicación para esto, no quiero saberlo." (aunque él no dijo que alrededor de cálculo).

  Así que ahora usted sabe por qué usted no ha aprendido aplicaciones, aquí están algunos:

• El cálculo es el estudio de cambio. Situaciones en la ciencia o de la ingeniería, donde nada cambia, son muy aburridos, así que utilice el cálculo para el estudio de preguntas que hacer el cambio. Por ejemplo: la segunda ley de Newton del movimiento es $$F=ma$$ where $F$ is force, $m$ is mass, and $a$ is acceleration. Though it is not immediately apparent how this equation can be "solved," solutions to this equation describe the motion of an object when the force $F$ is applied it. Acceleration is the change in velocity per change in time: $$a=\frac{dv}{dt}.$$ Velocity, in turn, is the change in position per change in time, so $$a=\frac{d^2x}{dt^2}.$$ Thus, we are left with $$F=m\frac{d^2x}{dt^2}.$$ Often, force itself is a function of $x$, and possible time $t$ , so we have to solve: $$F(x,t)=m\frac{d^2x}{dt^2}.$$ So position in terms of time, $x(t)$, is a function whose second derivative times $m$ is equal to $F(x,t)$. Esto se llama una ecuación diferencial, y es algo más difícil de resolver que una ecuación algebraica. Pero por la solución de este tipo, podemos predecir cómo un objeto se mueva en el tiempo. He oído ecuaciones diferenciales llamado el "lenguaje de la física," ya que casi todos los físicos situación puede ser descrita en términos de una ecuación diferencial, y la solución de estas ecuaciones diferenciales es la clave para la comprensión de cómo la situación física evoluciona en el tiempo y en el espacio.

• Si ya sabemos cómo se mueve un objeto a través del tiempo, que es la conocemos $x(t)$, podemos encontrar $v(t)$ $a(t)$ tomando derivados.

• Un problema muy importante en todas las ciencias, la ingeniería, e incluso de economía y finanzas es el de la optimización. Averiguar qué opciones tomar para obtener los mejores resultados es muy aplicable. Una empresa puede decidir qué precio vender su producto a obtener el máximo beneficio. Un poder urbano, puede decidir la mejor manera de configurar los servicios públicos. Un químico puede calcular la cantidad óptima de reactivos a utilizar para realizar un experimento. Optimización casi siempre significa que el cálculo debido a que funciones diferenciables puede llegar a los mínimos o máximos cuando sus derivados son cero. Así que el reto es tomar la derivada, el conjunto es igual a cero y resolver para el valor de $x$ que hace este verdadero.

• El cálculo también implica una operación de la que es, en cierto sentido, el opuesto de la diferenciación llama integración. Usted probablemente va a hablar de esto en su clase. La integración es útil cuando debemos encontrar un "efecto total" de la evolución constante de la causa. Por ejemplo, una presa sólo puede contener una cierta fuerza de agua detrás de él. La fuerza del agua depende de la presión del agua. Pero la presión del agua hacia la parte inferior de la presa es de menos de la parte superior. Entonces, ¿cómo podemos encontrar la fuerza total? La integración es la clave.

• Se puede casi decirse que multivaribale cálculo fue desarrollado con el propósito expreso de estudiar la mecánica de los fluidos y de la electricidad y el magnetismo.

• El cálculo es también muy utilizado en la biología. Esta no es mi área, así que no sé todos los detalles, pero sé que hay ecuaciones diferenciales utilizados para predecir cómo una población va a crecer o decrecer en el tiempo. Esto puede ser usado para encontrar la cantidad óptima de los animales para la cacería sin correr el riesgo de extinción.

Answer 2

Algo malo, puedo escoger para responder con precisión su explícito ejemplos. Sobre todo porque el "sorprendente" es que todo el material de aprendizaje viene desde el "Mundo Real".

• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sin(x) = \cos(x)$ -- posición y velocidad de un objeto en movimiento armónico simple. Los protones en el LHC, los electrones en una antena de radio, masas que cuelgan de los manantiales, pendula de pequeño desplazamiento, infrarrojos oscilaciones de las moléculas ; todos estos son (aproximadamente) armónica de movimientos.
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec(x) = \sec(x)\tan(x)$ -- la tasa de cambio del costo de las tejas del techo, versus el ángulo de la azotea, o la tasa de Mercator latitudinal de compresión versus ángulo por encima de ecuador (aunque la fascinante de la mitad de este problema (de la distorsión en la proyección de Mercator) es la secante integral, tanto discutido en el enlace.)
• $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1$ - La función de sinc es la transformada de Fourier de un rectángulo; el límite de dar nos informa de que, rectangular de ventanas reproduce fielmente la componente DC de la señal.
• $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} \frac{1}{\sqrt{2 \pi \,}} \mathrm{e}^{- \frac{x^2}{2}}$ -- esta es la segunda derivada de la distribución normal (un.k.un., Distribución de gauss). Segundo derivados de las distribuciones se utilizan comúnmente para mejorar los parámetros de ajuste en la espectroscopia.
• $f(x) = \begin{cases} 4x^2 + 1, &x>2; \\ 17, &x=2; \text{ and} \\ 16x-15, &x < 2 \end{cases}$ -- a las velocidades bajas, la resistencia experimentada por casi esférica de las partículas es lineal en su velocidad (ver Stokes, de la Ley), pero a mayor velocidad, la resistencia es cuadrática en la velocidad (ver Newtoniano arrastre) (con toda la complejidad, debido a que: la dinámica de fluidos en un amplio rango de números de Reynolds). Si bien es una exageración decir que su ejemplo es directamente aplicable, la práctica con estos modelo simplificado de problemas es necesario, antes de abordar ejemplos reales.

Utilizamos integrales (áreas bajo las curvas) para calcular las cosas que se acumulan y cuyas tasas sabemos. Por ejemplo, la dosis absorbida es una parte integral de la tasa de emisión de una fuente de radiación. Dispersión de la luz en las nubes y la niebla está modelada por las integrales frente a la profundidad de penetración. También, para ir de densidades para cantidades-densidad de la masa del peso, tensión-deformación a la fractura de energía específica, la presión a la fuerza, la tensión superficial de la superficie de energía, et al...

Answer 3

Sólo algunos ejemplos de los temas que usted ha mencionado:

1. Movimiento: El estándar de las ecuaciones de la cinemática de dar $v = \frac{dx}{dt}$ $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt})$
2. Termodinámica: la Energía, presión, temperatura, etc varían con cada uno de los otros, por lo que tendrá que lidiar con ecuaciones como $dE = TdS - PdV + \mu dN$
3. Estequiometría: las Cantidades de los reactivos químicos cambiar con el tiempo a medida que la reacción se lleva a cabo, el cambio de las proporciones.
4. Química: La velocidad de una reacción química que cambia en el tiempo.
5. Electricidad: Por ejemplo, la eléctrica de inducción es descrito por la ecuación de $\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$

Answer 4

La principal razón para aprender cálculo es que las leyes de la naturaleza está escrito en su idioma. Por ejemplo, para responder por qué usted debe saber que la derivada de $\sin x$$\cos x$, supongamos que se desea modelar el movimiento de un resorte. La fuerza experimentada por el resorte es proporcional a su desplazamiento desde el equilibrio, con la fuerza apunta en la dirección contraria. Dejando $x = x(t)$ el valor del desplazamiento de la primavera de equilibrio como una función del tiempo, utilizando la ley de Newton que $F = ma$, y reconociendo que la $F = -kx$ (donde $k$ es alguna constante positiva) y $a = \frac{d^2x}{dt^2}$, se reduce el problema de encontrar una función de $x(t)$ satisfacción $x''(t) = -\omega^2 x$ donde $\omega = \sqrt{k/m}$ es elegido, en retrospectiva, una vez que vemos la solución. ¿Qué funciones tiene segunda derivada que son iguales a sus puntos negativos? Por qué, $\sin t$ $\cos t$ se ajustan a la ley. Extender esta idea un poco, vemos que $x(t) = c_1 \sin (\omega t) + c_2 \cos (\omega t)$ satisface la ecuación diferencial $x''(t) = - \omega^2 x(t)$ (plug in y comprobar que esto es cierto!). Con algunos de los más herramientas para trabajar con el (específicamente álgebra lineal), se puede demostrar que esta es la más general posible solución. Si se especifica la posición inicial y la velocidad inicial de la primavera, se pueden determinar las constantes de $c_1$ $c_2$ explícitamente.

El resultado es que, utilizando las herramientas de cálculo, se puede entender completamente el movimiento de un simple resorte. Si eso era todo, no sería tan impresionante. Pero con el estudio y el continuo refinamiento de su cálculo de la teoría y las habilidades de resolución de problemas, se puede entender toda la manera de los más complicados sistemas físicos cuyas leyes subyacentes son gobernados por ecuaciones diferenciales -- ecuaciones que específicamente invocar derivados de formularlas. La mente de usted, todavía hay un montón de interesantes problemas no resueltos que implican complicado de los sistemas físicos, pero el cálculo es casi siempre necesario para entender aún la formulación de tales problemas.

Answer 5

Dos ideas importantes vivir en el Cálculo. Uno es el de la tasa instantánea de cambio. La tasa instantánea de cambio en la posición de velocidad. ¿Cómo se puede calcular esto? Esta fue la pregunta crítica de Newton luchó en un intento de comprender la dinámica de los cuerpos en movimiento.

La otra es esta. Si usted tiene una ecuación que supongan tasas de cambios (imaginar: las bacterias crecen en un plato proporcional a su población), ¿cómo se puede resolver esto y obtener una función que describe el fenómeno.

El cálculo es uno de los problemas más importantes herramientas de solución de nunca creó a los seres humanos. Suspender su incredulidad, salto, y usted será recompensado con importantes conocimientos.